Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
e também determinar a solução particular que satisfaz o PVI
Passo 2
Para resolver, formamos a equação característica associada à EDO homogênea substituindo
e suas derivadas:
Passo 3
Resolvendo a equação característica vemos que ela fatoriza como
ou seja, temos uma raiz dupla
. Para raízes duplas, a solução geral é da forma
Passo 4
Agora precisamos aplicar as condições iniciais. Primeiro calculamos a derivada de
:
Simplificando:
Passo 5
Usamos
nas duas expressões para gerar um sistema em
e
:
Da condição
:
ou seja
Da condição
:
que vira
Passo 6
Resolvendo o sistema
où multiplicando a primeira equação por 2 e somando:
soma gera
e então
.
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
Resposta
Solução geral:
.
Solução particular do PVI: .
Solução particular do PVI: