Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=0 ; y(-1)=2 ; y^prime(-1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 4y = 0
e também determinar a solução particular que satisfaz o PVI
y(-1)=2, y'(-1)=1

Passo 2

Para resolver, formamos a equação característica associada à EDO homogênea substituindo y = e^rx e suas derivadas:
r^2 + 4r + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica vemos que ela fatoriza como
(r + 2)^2 = 0
ou seja, temos uma raiz dupla r = -2. Para raízes duplas, a solução geral é da forma
y(x) = C1 e^-2x + C2 x e^-2x

Passo 4

Agora precisamos aplicar as condições iniciais. Primeiro calculamos a derivada de y(x):
y'(x) = C1(-2)e^-2x + C2igl(e^-2x + x(-2)e^-2xr) 
Simplificando:
y'(x) = e^-2xigl(-2C1 + C2 - 2C2 xr) 

Passo 5

Usamos x = -1 nas duas expressões para gerar um sistema em C1 e C2:
Da condição y(-1)=2:
e^-2(-1)igl(C1 + C2(-1)r) = 2 
ou seja
C1 - C2 = 2e^-2
Da condição y'(-1)=1:
e^-2(-1)igl(-2C1 + C2 - 2C2(-1)r) = 1 
que vira
-2C1 +3C2 = e^-2

Passo 6

Resolvendo o sistema
C1 - C2 = 2e^-2 -2C1 + 3C2 = e^-2
où multiplicando a primeira equação por 2 e somando:
2C1 - 2C2 = 4e^-2 -2C1 + 3C2 = e^-2
soma gera C2 = 5e^-2 e então C1 = C2 + 2e^-2 = 7e^-2.

Passo 7

Substituindo C1 e C2 na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
y(x) = 7e^-2e^-2x + 5e^-2x e^-2x = e^-2(x+1)igl(7 + 5xr) 

Resposta

Solução geral: y(x) = C1 e^-2x + C2 x e^-2x.
Solução particular do PVI: y(x) = e^-2(x+1)(7 + 5x).

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