Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio máximo da função.
- Esboçar o gráfico da função (ou seja, descrever como desenhar a curva).
Informações dadas explicitamente:
- A expressão algébrica da função é
.
Passo 2
Regra básica sobre domínio de logaritmo (a explicação “teórica” bem mastigada):
- Um logaritmo
só está definido quando o argumento for positivo, isto é, quando .
Explicação curta e intuitiva: o logaritmo é a função inversa da exponencial, e para todo ; portanto só podemos aplicar o logaritmo a números positivos.
Aplicando isso ao nosso caso: o argumento do logaritmo é
. Logo, para existir
precisamos ter
Passo 3
Resolver
:
Portanto o domínio máximo é todos os
maiores que zero. Em notação intervalar:
.
Passo 4
Uma simplificação útil (propriedade de logaritmos) que facilita o esboço:
- Regra:
.
Aplicando aqui:
Como
(porque
), obtemos
Interpretação prática: o gráfico de
é o gráfico de
deslocado verticalmente para cima em
unidades.
Passo 5
Pontos importantes para desenhar (calculei usando a forma
ou a forma simplificada):
- Interseção com o eixo
(resolver ):
Então passa por
.
- Valores fáceis:
Portanto pontos úteis:
.
Passo 6
Comportamento e assíntota:
- Como
, temos , então . Isso confirma que há uma assíntota vertical em . - Como
, (cresce sem limite, embora lentamente). - Não existe intercepto com o eixo
porque não pertence ao domínio.
Passo 7
Crescimento e curvatura (para desenhar corretamente a forma):
- Derivada (apenas para interpretar rigidez do crescimento):
que é positiva para todo
. Conclusão:
é estritamente crescente no domínio.
- Segunda derivada:
logo a curva é côncava para baixo em todo o domínio.
Passo 8
Instruções práticas para esboçar à mão (passo a passo):
- Desenhe os eixos cartesianos e trace uma linha pontilhada vertical em
(assíntota). - Marque o ponto
(onde cruza o eixo ). - Marque também
, , — esses pontos ficam aproximadamente numa reta curva crescente. - Desenhe uma curva que vem de
quando se aproxima de , passa por e sobe lentamente, passando por , sempre crescente e com concavidade para baixo. - Indique que não há ponto em
(região fora do domínio).
Resposta
Domínio:
Esboço: curva com assíntota vertical em , crescente e côncava para baixo, passando por
(equivalente à curva
).
Esboço: curva com assíntota vertical em