Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=\log _{2}(4 x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\log_{2}(4x) e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio máximo da função.
  • Esboçar o gráfico da função (ou seja, descrever como desenhar a curva).
Informações dadas explicitamente:
  • A expressão algébrica da função é f(x)=\log_{2}(4x).

Passo 2

Regra básica sobre domínio de logaritmo (a explicação “teórica” bem mastigada):
  • Um logaritmo \log_a(u) só está definido quando o argumento u for positivo, isto é, quando u>0.
    Explicação curta e intuitiva: o logaritmo é a função inversa da exponencial a^y, e a^y>0 para todo y; portanto só podemos aplicar o logaritmo a números positivos.
Aplicando isso ao nosso caso: o argumento do logaritmo é 4x. Logo, para existir f(x) precisamos ter
4x>0.

Passo 3

Resolver 4x>0:
4x>0 \quad\Longrightarrow\quad x>0.
Portanto o domínio máximo é todos os x maiores que zero. Em notação intervalar: (0,\infty).

Passo 4

Uma simplificação útil (propriedade de logaritmos) que facilita o esboço:
  • Regra: \log_a(bc)=\log_a(b)+\log_a\text{(c)}.
    Aplicando aqui:
\log_{2}(4x)=\log_{2}(4)+\log_{2}(x).
Como \log_{2}(4)=2 (porque 2^2=4), obtemos
f(x)=2+\log_{2}(x).
Interpretação prática: o gráfico de f é o gráfico de \log_{2}(x) deslocado verticalmente para cima em 2 unidades.

Passo 5

Pontos importantes para desenhar (calculei usando a forma f(x)=\log_{2}(4x) ou a forma simplificada):
  • Interseção com o eixo x (resolver f(x)=0):
\log_{2}(4x)=0 \Longrightarrow 4x=1 \Longrightarrow x=\tfrac{1}{4}.
Então passa por \bigl(\tfrac{1}{4},0\bigr).
  • Valores fáceis:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\log_{2}\!\left(4\cdot\tfrac{1}{2}\right)=\log_{2}(2)=1,
f(1)=\log_{2}(4)=2,
f(2)=\log_{2}(8)=3,
f(4)=\log_{2}(16)=4.
Portanto pontos úteis: \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr),\,(1,2),\,(2,3),\,(4,4).

Passo 6

Comportamento e assíntota:
  • Como x\to0^+, temos \log_{2}(x)\to-\infty, então f(x)=2+\log_{2}(x)\to -\infty. Isso confirma que há uma assíntota vertical em x=0.
  • Como x\to\infty, f(x)\to\infty (cresce sem limite, embora lentamente).
  • Não existe intercepto com o eixo y porque x=0 não pertence ao domínio.

Passo 7

Crescimento e curvatura (para desenhar corretamente a forma):
  • Derivada (apenas para interpretar rigidez do crescimento):
f'(x)=\frac{1}{x\ln 2},
que é positiva para todo x>0. Conclusão: f é estritamente crescente no domínio.
  • Segunda derivada:
f''(x)=-\frac{1}{x^{2}\ln 2}<0\quad\text{para }x>0,
logo a curva é côncava para baixo em todo o domínio.

Passo 8

Instruções práticas para esboçar à mão (passo a passo):
  1. Desenhe os eixos cartesianos e trace uma linha pontilhada vertical em x=0 (assíntota).
  2. Marque o ponto \bigl(\tfrac{1}{4},0\bigr) (onde cruza o eixo x).
  3. Marque também \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr), (1,2), (2,3) — esses pontos ficam aproximadamente numa reta curva crescente.
  4. Desenhe uma curva que vem de -\infty quando x se aproxima de 0^+, passa por \bigl(\tfrac{1}{4},0\bigr) e sobe lentamente, passando por (1,2), sempre crescente e com concavidade para baixo.
  5. Indique que não há ponto em x\le 0 (região fora do domínio).

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Esboço: curva com assíntota vertical em x=0, crescente e côncava para baixo, passando por \bigl(\tfrac{1}{4},0\bigr),\\ \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr),\\ (1,2),\\ (2,3) (equivalente à curva 2+\log_{2}(x)).

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