Determine o domínio natural de
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio natural da função
Informações relevantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
- A expressão dentro do logaritmo é
. - A expressão dentro da raiz quadrada é
. - Pontos de atenção já visíveis: o denominador
pode anular-se em ; o logaritmo exige alguma condição sobre seu argumento; a raiz quadrada exige alguma condição sobre seu radicando. - O que se pede: o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão inteira está bem definida (ou seja, todas as restrições simultâneas satisfeitas).
Passo 2
Entender a restrição vinda do logaritmo. Regra prática do logaritmo natural: o argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo. Ou seja, precisamos que
Além disso, o denominador não pode ser zero, portanto
(essa condição já está implicitamente tratada na desigualdade, mas vale lembrar explicitamente).
Vamos resolver a desigualdade
por análise de sinais. Os pontos críticos que mudam sinal são as raízes do numerador e do denominador:
- numerador
dá ; - denominador
dá .
Esses pontos particionam a reta em três intervalos:
,
e
.
Agora analisamos o sinal da fração em cada intervalo escolhendo um ponto teste:
Agora analisamos o sinal da fração em cada intervalo escolhendo um ponto teste:
- Para
(por exemplo ): numerador é negativo, denominador é negativo, razão é positiva. Logo a fração é em . - Para
(por exemplo ): numerador é (negativo), denominador é (positivo), razão é negativa. Logo a fração é em . - Para
(por exemplo ): numerador é positivo, denominador é positivo, razão é positiva. Logo a fração é em .
Como queremos a fração estritamente positiva, a solução da desigualdade é
Observações sobre bordos:
não pode ser permitido porque anula o denominador;
não pode ser permitido porque anula o numerador e então o argumento do
seria
, mas
não existe.
Passo 3
Entender a restrição vinda da raiz quadrada. Para a raiz quadrada principal (função real), o radicando deve ser maior ou igual a zero. Assim:
Reescrevendo,
Isso é equivalente a
Portanto a condição da raiz impõe
. Nessa condição os extremos
e
são permitidos porque levam a
.
Passo 4
Agora intersectamos as duas condições (ambas devem valer ao mesmo tempo):
- condição do logaritmo:
; - condição da raiz:
.
Interseção:
Fazendo a interseção por partes:
-
(observe que pertence porque está em e também em ; é excluído). -
(observe que é excluído, é incluído).
Portanto a interseção é
Passo 5
Verificações finais rápidas em pontos limites:
-
: e , então é válido. -
: denominador zero, expressão indefinida — excluído. -
: argumento do é — excluído. -
: e , então é válido.
Tudo consistente com a interseção encontrada.