Determine o domínio natural de
f(x)=\ln \left(\frac{x-1}{x+2}\right)+\sqrt{9-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio natural da função
f(x)=\ln\!\left(\frac{x-1}{x+2}\right)+\sqrt{9-x^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
  • A expressão dentro do logaritmo é \dfrac{x-1}{x+2}.
  • A expressão dentro da raiz quadrada é 9-x^{2}.
  • Pontos de atenção já visíveis: o denominador x+2 pode anular-se em x=-2; o logaritmo exige alguma condição sobre seu argumento; a raiz quadrada exige alguma condição sobre seu radicando.
  • O que se pede: o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão inteira f(x) está bem definida (ou seja, todas as restrições simultâneas satisfeitas).

Passo 2

Entender a restrição vinda do logaritmo. Regra prática do logaritmo natural: o argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo. Ou seja, precisamos que
\frac{x-1}{x+2}>0.
Além disso, o denominador não pode ser zero, portanto x\neq -2 (essa condição já está implicitamente tratada na desigualdade, mas vale lembrar explicitamente).
Vamos resolver a desigualdade \dfrac{x-1}{x+2}>0 por análise de sinais. Os pontos críticos que mudam sinal são as raízes do numerador e do denominador:
  • numerador x-1=0 x=1;
  • denominador x+2=0 x=-2.
Esses pontos particionam a reta em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,1) e (1,\infty).
Agora analisamos o sinal da fração em cada intervalo escolhendo um ponto teste:
  • Para x<-2 (por exemplo x=-3): numerador x-1 é negativo, denominador x+2 é negativo, razão é positiva. Logo a fração é >0 em (-\infty,-2).
  • Para -2<x<1 (por exemplo x=0): numerador é -1 (negativo), denominador é 2 (positivo), razão é negativa. Logo a fração é <0 em (-2,1).
  • Para x>1 (por exemplo x=2): numerador é positivo, denominador é positivo, razão é positiva. Logo a fração é >0 em (1,\infty).
Como queremos a fração estritamente positiva, a solução da desigualdade é
x\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty).
Observações sobre bordos: x=-2 não pode ser permitido porque anula o denominador; x=1 não pode ser permitido porque anula o numerador e então o argumento do \ln seria 0, mas \ln(0) não existe.

Passo 3

Entender a restrição vinda da raiz quadrada. Para a raiz quadrada principal (função real), o radicando deve ser maior ou igual a zero. Assim:
9-x^{2}\ge 0.
Reescrevendo,
x^{2}\le 9.
Isso é equivalente a
-3\le x\le 3.
Portanto a condição da raiz impõe x\in[-3,3]. Nessa condição os extremos x=-3 e x=3 são permitidos porque levam a \sqrt{0}=0.

Passo 4

Agora intersectamos as duas condições (ambas devem valer ao mesmo tempo):
  • condição do logaritmo: x\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty);
  • condição da raiz: x\in[-3,3].
Interseção:
\big((-\infty,-2)\cup(1,\infty)\big)\cap[-3,3].
Fazendo a interseção por partes:
  • (-\infty,-2)\cap[-3,3]=[-3,-2) (observe que x=-3 pertence porque está em [-3,3] e também em (-\infty,-2); x=-2 é excluído).
  • (1,\infty)\cap[-3,3]=(1,3] (observe que x=1 é excluído, x=3 é incluído).
Portanto a interseção é
[-3,-2)\cup(1,3].

Passo 5

Verificações finais rápidas em pontos limites:
  • x=-3: \dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{-4}{-1}=4>0 e \sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{0}=0, então x=-3 é válido.
  • x=-2: denominador zero, expressão indefinida — excluído.
  • x=1: argumento do \ln é 0 — excluído.
  • x=3: \dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{2}{5}>0 e \sqrt{0}=0, então x=3 é válido.
Tudo consistente com a interseção encontrada.

Resposta

[-3,-2)\cup(1,3]

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