Determine o domínio natural de
p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x-5}}

Passo 1

O enunciado dá a função
p(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-5}}
e pede o domínio natural — ou seja, o conjunto de todos os valores reais de x para os quais a expressão está bem definida (como número real). Informações relevantes fornecidas:
  • A função tem uma raiz quadrada de 2x-5.
  • O resultado da raiz quadrada aparece no denominador da fração.

Passo 2

Regras que devem ser aplicadas (explicadas de forma clara):
  • Uma raiz quadrada principal \sqrt{A} está definida como número real somente quando o radicando A é maior ou igual a zero. Em símbolos: é necessário que A\ge 0.
  • Em uma fração \dfrac{1}{B}, o denominador B não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida.
No nosso caso o radicando é 2x-5 e o denominador é \sqrt{2x-5}. Portanto precisamos simultaneamente de
2x-5 \ge 0
e
\sqrt{2x-5}\neq 0.

Passo 3

Interpretando as duas condições juntas: se \sqrt{2x-5}\neq 0 então necessariamente 2x-5 não pode ser zero; combinado com 2x-5\ge 0 isso implica que, na prática, precisamos de
2x-5>0.
Expliquei: não basta permitir o caso 2x-5=0 porque aí \sqrt{2x-5}=0 e a fração teria denominador zero. Logo a desigualdade é estrita.

Passo 4

Resolver a desigualdade linear 2x-5>0. Passo a passo:
2x-5>0
somar 5 nos dois lados:
2x>5
dividir ambos os lados por 2 (note que 2>0, então o sentido da desigualdade não muda):
x>\frac{5}{2}.

Passo 5

Interpretação final e verificação com exemplos:
  • A condição x>\dfrac{5}{2} significa que qualquer x maior que \dfrac{5}{2} torna 2x-5 positivo, a raiz bem definida e o denominador não nulo.
  • Exemplos rápidos:
    • Se x=3 então 2x-5=1, \sqrt{1}=1 e p(3)=1 (válido).
    • Se x=\dfrac{5}{2} então 2x-5=0, \sqrt{0}=0 e p não está definida (divisão por zero).
    • Se x=2 então 2x-5=-1, raiz de número negativo não é real (inválido).

Resposta

\displaystyle \left(\frac{5}{2},\infty\right)

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