Determine o domínio natural de
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio natural (conjunto de todos os
reais para os quais a função está bem definida como número real) da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função envolve uma raiz quadrada real: o radicando deve ser maior ou igual a zero.
- O radicando é a fração
. - Além disso, a fração não pode ter divisão por zero, isto é,
.
Passo 2
Traduzindo as informações em condições matemáticas: para
ser real precisa valer simultaneamente
e
Explicação do porquê: uma raiz quadrada real
exige
. Como
, essa desigualdade é a condição principal. Além disso, se
a fração não está definida, então é proibido.
Passo 3
Identificar os pontos críticos da expressão
: zeros do numerador e zeros do denominador.
- Numerador
em . Nesse ponto a fração vale . - Denominador
em . Nesse ponto a fração é indefinida.
Esses pontos particionam a reta real em três intervalos:, e . A desigualdade será verificada em cada intervalo, e o ponto pode ser incluído se a desigualdade aceitar igualdade.
Passo 4
Analisar o sinal da fração em cada intervalo usando pontos teste (escolher um valor em cada intervalo e avaliar o sinal do numerador e do denominador).
- Para
(no intervalo ): -
. -
. - Logo
. Portanto a desigualdade é satisfeita nesse intervalo.
-
- Para
(no intervalo ): -
. -
. - Logo
. Portanto a desigualdade não é satisfeita nesse intervalo.
-
- Para
(no intervalo ): -
. -
. - Logo
. Portanto a desigualdade é satisfeita nesse intervalo.
-
Passo 5
Verificar os pontos críticos:
- Em
a fração vale , e é permitido. Logo pertence ao domínio. - Em
a fração é indefinida (divisão por zero), logo não pertence ao domínio.
Combinando os resultados dos intervalos e os pontos críticos, o conjunto de
que satisfazem as condições é