Determine o domínio natural de
h(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-3}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio natural (conjunto de todos os x reais para os quais a função está bem definida como número real) da função
h(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-3}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função envolve uma raiz quadrada real: o radicando deve ser maior ou igual a zero.
  • O radicando é a fração \dfrac{x+2}{x-3}.
  • Além disso, a fração não pode ter divisão por zero, isto é, x\neq 3.

Passo 2

Traduzindo as informações em condições matemáticas: para h(x) ser real precisa valer simultaneamente
\frac{x+2}{x-3}\ge 0
e
x\neq 3.
Explicação do porquê: uma raiz quadrada real \sqrt{A} exige A\ge 0. Como A=\dfrac{x+2}{x-3}, essa desigualdade é a condição principal. Além disso, se x=3 a fração não está definida, então é proibido.

Passo 3

Identificar os pontos críticos da expressão \dfrac{x+2}{x-3}: zeros do numerador e zeros do denominador.
  • Numerador x+2=0 em x=-2. Nesse ponto a fração vale 0.
  • Denominador x-3=0 em x=3. Nesse ponto a fração é indefinida.
    Esses pontos particionam a reta real em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,3) e (3,\infty). A desigualdade será verificada em cada intervalo, e o ponto x=-2 pode ser incluído se a desigualdade aceitar igualdade.

Passo 4

Analisar o sinal da fração em cada intervalo usando pontos teste (escolher um valor em cada intervalo e avaliar o sinal do numerador e do denominador).
  • Para x=-3 (no intervalo (-\infty,-2)):
    • x+2 = -3+2 = -1 < 0.
    • x-3 = -3-3 = -6 < 0.
    • Logo \dfrac{x+2}{x-3} = \dfrac{-1}{-6} = \dfrac{1}{6} > 0. Portanto a desigualdade é satisfeita nesse intervalo.
  • Para x=0 (no intervalo (-2,3)):
    • x+2 = 0+2 = 2 > 0.
    • x-3 = 0-3 = -3 < 0.
    • Logo \dfrac{x+2}{x-3} = \dfrac{2}{-3} < 0. Portanto a desigualdade não é satisfeita nesse intervalo.
  • Para x=4 (no intervalo (3,\infty)):
    • x+2 = 4+2 = 6 > 0.
    • x-3 = 4-3 = 1 > 0.
    • Logo \dfrac{x+2}{x-3} = \dfrac{6}{1} = 6 > 0. Portanto a desigualdade é satisfeita nesse intervalo.

Passo 5

Verificar os pontos críticos:
  • Em x=-2 a fração vale 0, e \sqrt{0}=0 é permitido. Logo x=-2 pertence ao domínio.
  • Em x=3 a fração é indefinida (divisão por zero), logo x=3 não pertence ao domínio.
Combinando os resultados dos intervalos e os pontos críticos, o conjunto de x que satisfazem as condições é
(-\infty,-2]\cup(3,\infty).

Resposta

(-\infty,-2]\cup(3,\infty)

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