Determine o domínio natural de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o domínio natural (isto é, o conjunto de todos os valores reais de
para os quais
está bem definida). As informações relevantes que vamos usar são:
- A raiz quadrada
está definida apenas quando o radicando é maior ou igual a zero, ou seja precisamos de - O logaritmo natural
está definido apenas quando . Aqui o argumento é , então precisamos de - Além disso, como
aparece no denominador, não podemos ter (pois não se pode dividir por zero). Logo também devemos excluir soluções que façam
Nada mais foi dado; com essas três condições podemos determinar o domínio.
Passo 2
Resolver a condição da raiz:
Primeiro fatoramos o polinômio:
Temos um produto de duas expressões
e
. Para que o produto seja maior ou igual a zero, ou ambos os fatores são não negativos ao mesmo tempo, ou ambos são não positivos ao mesmo tempo. Os pontos críticos (onde cada fator é zero) são
e
. Fazendo um estudo de sinais (ou teste de intervalos):
- Para
: é negativo e é negativo produto positivo. - Para
: é positivo e é negativo produto negativo. - Para
: é positivo e é positivo produto positivo.
Incluímos também os pontos onde o produto vale zero,
e
, porque a desigualdade é
. Portanto a solução da desigualdade é
ou em notação de intervalos:
Passo 3
Resolver a condição do logaritmo:
Além disso, excluir
tal que
. Resolver
:
Portanto a condição do denominador é:
e
. Em notação de intervalos:
Passo 4
Agora intersectamos as condições das duas partes (radicando e logaritmo) e aplicamos a exclusão do zero do denominador.
Temos:
Interseção passo a passo:
-
e . Logo a parte não contribui porque exige enquanto o log requer . -
e , porque todos os satisfazem .
Também lembramos de excluir
, mas
não pertence ao conjunto
, então não altera nada.
Portanto a interseção final é
Passo 5
Verificações rápidas e intuitivas (para sentir segurança):
- Em
: o numerador é (ok) e o denominador é (ok). Logo é permitido. - Em
: o radicando é e , tudo bem. - Em
: o radicando é (ok) mas é indefinido — portanto é proibido (confirmando porque foi eliminado pela condição ). - Em
: e não se pode dividir por zero — por isso é excluído (mas já não estava em ).