Determine o domínio natural de
g(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4 x}}{\ln (x-1)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4 x}}{\ln (x-1)}
e pede o domínio natural (isto é, o conjunto de todos os valores reais de x para os quais g(x) está bem definida). As informações relevantes que vamos usar são:
  • A raiz quadrada \sqrt{\cdot} está definida apenas quando o radicando é maior ou igual a zero, ou seja precisamos de x^{2}-4x \ge 0.
  • O logaritmo natural \ln(y) está definido apenas quando y>0. Aqui o argumento é x-1, então precisamos de x-1>0 \quad\text{ou seja}\quad x>1.
  • Além disso, como \ln(x-1) aparece no denominador, não podemos ter \ln(x-1)=0 (pois não se pode dividir por zero). Logo também devemos excluir soluções que façam \ln(x-1)=0.
Nada mais foi dado; com essas três condições podemos determinar o domínio.

Passo 2

Resolver a condição da raiz:
x^{2}-4x \ge 0.
Primeiro fatoramos o polinômio:
x^{2}-4x = x(x-4).
Temos um produto de duas expressões x e x-4. Para que o produto seja maior ou igual a zero, ou ambos os fatores são não negativos ao mesmo tempo, ou ambos são não positivos ao mesmo tempo. Os pontos críticos (onde cada fator é zero) são x=0 e x=4. Fazendo um estudo de sinais (ou teste de intervalos):
  • Para x<0: x é negativo e x-4 é negativo \Rightarrow produto positivo.
  • Para 0<x<4: x é positivo e x-4 é negativo \Rightarrow produto negativo.
  • Para x>4: x é positivo e x-4 é positivo \Rightarrow produto positivo.
Incluímos também os pontos onde o produto vale zero, x=0 e x=4, porque a desigualdade é \ge 0. Portanto a solução da desigualdade é
x\le 0 \quad\text{ou}\quad x\ge 4,
ou em notação de intervalos:
(-\infty,0]\cup[4,\infty).

Passo 3

Resolver a condição do logaritmo:
x-1>0 \quad\Rightarrow\quad x>1.
Além disso, excluir x tal que \ln(x-1)=0. Resolver \ln(x-1)=0:
\ln(x-1)=0 \iff x-1=1 \iff x=2.
Portanto a condição do denominador é: x>1 e x\neq 2. Em notação de intervalos:
(1,2)\cup(2,\infty).

Passo 4

Agora intersectamos as condições das duas partes (radicando e logaritmo) e aplicamos a exclusão do zero do denominador.
Temos:
\text{(radicando)} = (-\infty,0]\cup[4,\infty),
\text{(logaritmo)} = (1,2)\cup(2,\infty).
Interseção passo a passo:
  • (-\infty,0]\cap (1,2)=\varnothing e (-\infty,0]\cap(2,\infty)=\varnothing. Logo a parte (-\infty,0] não contribui porque exige x\le 0 enquanto o log requer x>1.
  • [4,\infty)\cap(1,2)=\varnothing e [4,\infty)\cap(2,\infty)=[4,\infty), porque todos os x\ge 4 satisfazem x>2.
Também lembramos de excluir x=2, mas x=2 não pertence ao conjunto [4,\infty), então não altera nada.
Portanto a interseção final é
[4,\infty).

Passo 5

Verificações rápidas e intuitivas (para sentir segurança):
  • Em x=4: o numerador é \sqrt{4^{2}-4\cdot4}=\sqrt{16-16}=\sqrt{0}=0 (ok) e o denominador é \ln(4-1)=\ln 3\neq 0 (ok). Logo x=4 é permitido.
  • Em x=5: o radicando é 25-20=5\ge0 e \ln(5-1)=\ln 4>0, tudo bem.
  • Em x=0: o radicando é 0 (ok) mas \ln(0-1)=\ln(-1) é indefinido — portanto x=0 é proibido (confirmando porque x\le0 foi eliminado pela condição x>1).
  • Em x=2: \ln(2-1)=\ln 1=0 e não se pode dividir por zero — por isso x=2 é excluído (mas já não estava em [4,\infty)).

Resposta

[4,\infty)

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