Determine o domínio natural de
f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^{2}-9}
e pede para determinar o domínio natural (ou seja, todos os valores reais de x que tornam a expressão bem definida). As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
  • A presença de \sqrt{x-1} implica uma restrição sobre o radicando.
  • A presença de x^{2}-9 no denominador implica que esse polinômio não pode ser zero.

Passo 2

O que significa “bem definida” aqui? Para uma função real-valorada dada por uma expressão algébrica:
  • Uma raiz quadrada \sqrt{\cdot} só é um número real se o radicando for maior ou igual a zero.
  • Um denominador não pode ser zero (divisão por zero é indefinida).
    Portanto preciso impor simultaneamente as duas condições: o radicando não pode ser negativo e o denominador não pode ser zero.

Passo 3

Tratar a condição do radicando. A raiz exige
x-1 \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade,
x \ge 1.
Isso significa que qualquer x menor que 1 já está proibido porque tornaria \sqrt{x-1} não real (por exemplo, para x=0 teríamos \sqrt{-1}, que não é um número real).

Passo 4

Tratar a condição do denominador. Exigimos
x^{2}-9 \ne 0.
Fatorando o polinômio (diferença de quadrados),
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Logo a condição vira
(x-3)(x+3)\ne 0,
isto é,
x \ne 3\quad\text{e}\quad x \ne -3.

Passo 5

Combinar as duas restrições: devemos ter x \ge 1 e também x \ne 3 (e x \ne -3, mas veja abaixo). Note que x=-3 não satisfaz x\ge 1, então a restrição x\ne -3 é irrelevante quando já impomos x\ge 1. Portanto os x permitidos são todos os x com
x \ge 1
exceto o ponto x=3, que anula o denominador. Em notação de intervalo isso fica
[1,3)\cup(3,\infty).

Passo 6

Checagem rápida de pontas: em x=1 temos \sqrt{1-1}=0 e denominador 1^{2}-9=-8\ne 0, então x=1 é permitido. Em x=3 o denominador é zero, então x=3 é proibido. Valores maiores que 3 são permitidos (por exemplo x=4 \sqrt{3}/7), e valores entre 1 e 3 também são permitidos.

Resposta

[1,3)\cup(3,\infty)

Exercícios relacionados