Determine o domínio natural de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar o domínio natural (ou seja, todos os valores reais de
que tornam a expressão bem definida). As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
- A presença de
implica uma restrição sobre o radicando. - A presença de
no denominador implica que esse polinômio não pode ser zero.
Passo 2
O que significa “bem definida” aqui? Para uma função real-valorada dada por uma expressão algébrica:
- Uma raiz quadrada
só é um número real se o radicando for maior ou igual a zero. - Um denominador não pode ser zero (divisão por zero é indefinida).
Portanto preciso impor simultaneamente as duas condições: o radicando não pode ser negativo e o denominador não pode ser zero.
Passo 3
Tratar a condição do radicando. A raiz exige
Resolvendo essa desigualdade,
Isso significa que qualquer
menor que
já está proibido porque tornaria
não real (por exemplo, para
teríamos
, que não é um número real).
Passo 4
Tratar a condição do denominador. Exigimos
Fatorando o polinômio (diferença de quadrados),
Logo a condição vira
isto é,
Passo 5
Combinar as duas restrições: devemos ter
e também
(e
, mas veja abaixo). Note que
não satisfaz
, então a restrição
é irrelevante quando já impomos
. Portanto os
permitidos são todos os
com
exceto o ponto
, que anula o denominador. Em notação de intervalo isso fica
Passo 6
Checagem rápida de pontas: em
temos
e denominador
, então
é permitido. Em
o denominador é zero, então
é proibido. Valores maiores que
são permitidos (por exemplo
dá
), e valores entre
e
também são permitidos.