Determine o domínio de r.
r(t)=lang<=raiz2-t,(e^t-1) / t, ln (t+1)rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial r(t) definida por três componentes:
r(t) = lang<= raiz2-t, e^t - 1t, ln(t+1) rang<=
O que a gente precisa é encontrar o domínio dessa função, ou seja, todos os valores de $ t $ que fazem todas as partes da função serem válidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente: raiz2 - t.
Para que a raiz quadrada seja válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
2 - t >= 0
Resolvendo isso:
t <= 2
Então, para essa parte da função funcionar, $ t $ tem que ser menor ou igual a 2.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: e^t - 1t.
Aqui, temos uma fração, e pra ela ser válida, o denominador não pode ser zero. Então:
t neq 0
Além disso, o numerador $ e^{t} - 1 $ é sempre definido para qualquer valor de $ t $, então a única restrição aqui é que $ t $ não pode ser zero.

Passo 4

Por último, a terceira componente: ln(t + 1).
A função logaritmo natural só está definida quando o argumento é maior que zero:
t + 1 > 0
Resolvendo isso:
t > -1
Então, para essa parte da função funcionar, $ t $ tem que ser maior que -1.

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos:
  1. $ t \leq 2 $ (da primeira componente)
  2. $ t \neq 0 $ (da segunda componente)
  3. $ t > -1 $ (da terceira componente)
Para que a função toda seja válida, todas essas condições precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo. Então, combinando:
  • $ t $ tem que ser maior que -1 e menor ou igual a 2.
  • Além disso, $ t $ não pode ser zero.
Isso nos dá dois intervalos:
  • De -1 até 0 (não incluindo 0)
  • De 0 até 2 (incluindo 2)

Resposta

O domínio de r é -1 < t < 0 ou 0 < t <= 2, ou seja:
(-1, 0) cup (0, 2]

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