Determine o domínio de
.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial
definida por três componentes:
O que a gente precisa é encontrar o domínio dessa função, ou seja, todos os valores de $ t $ que fazem todas as partes da função serem válidas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira componente:
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Para que a raiz quadrada seja válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo isso:
Então, para essa parte da função funcionar, $ t $ tem que ser menor ou igual a 2.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
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Aqui, temos uma fração, e pra ela ser válida, o denominador não pode ser zero. Então:
Além disso, o numerador $ e^{t} - 1 $ é sempre definido para qualquer valor de $ t $, então a única restrição aqui é que $ t $ não pode ser zero.
Passo 4
Por último, a terceira componente:
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A função logaritmo natural só está definida quando o argumento é maior que zero:
Resolvendo isso:
Então, para essa parte da função funcionar, $ t $ tem que ser maior que -1.
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos:
- $ t \leq 2 $ (da primeira componente)
- $ t \neq 0 $ (da segunda componente)
- $ t > -1 $ (da terceira componente)
Para que a função toda seja válida, todas essas condições precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo. Então, combinando:
- $ t $ tem que ser maior que -1 e menor ou igual a 2.
- Além disso, $ t $ não pode ser zero.
Isso nos dá dois intervalos:
- De -1 até 0 (não incluindo 0)
- De 0 até 2 (incluindo 2)
Resposta
O domínio de
é
ou
, ou seja: