Encontre r^prime(t) e r^prime prime(t).
r(t)=t i+cos pi t j+sen pi t k t >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas primeira e segunda da função vetorial r(t) = t,i + cos pi t,j + sin pi t,k. Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Vamos usar as regras de derivação básicas para funções componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira r^prime(t). Para isso, vamos derivar cada componente da função vetorial em relação a t.
A função vetorial é:
r(t) = t,i + cos pi t,j + sin pi t,k
Derivando cada termo:
  • A derivada de t em relação a t é 1.
  • A derivada de cos pi t em relação a t é - pi sin pi t.
  • A derivada de sin pi t em relação a t é pi cos pi t.
Então, temos:
r^prime(t) = 1,i - pi sin pi t,j + pi cos pi t,k

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada segunda r^prime prime(t). Para isso, vamos derivar novamente cada componente da derivada primeira r^prime(t) em relação a t.
A derivada primeira é:
r^prime(t) = 1,i - pi sin pi t,j + pi cos pi t,k
Derivando cada termo:
  • A derivada de 1 em relação a t é 0.
  • A derivada de - pi sin pi t em relação a t é - pi^2 cos pi t.
  • A derivada de pi cos pi t em relação a t é - pi^2 sin pi t.
Então, temos:
r^prime prime(t) = 0,i - pi^2 cos pi t,j - pi^2 sin pi t,k

Resposta

As derivadas são:
r^prime(t) = i - pi sin pi t,j + pi cos pi t,k
r^prime prime(t) = - pi^2 cos pi t,j - pi^2 sin pi t,k

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