Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f(x)=2-arcsen(x^2+2 x) com -pi18 e g(x)=f(3 x). Seja L a reta normal ao gráfico da função g^-1 no ponto (2, g^-1(2)), onde g^-1 representa a função inversa da função g. A reta L contém o ponto:
Escolha uma opção:
(1,3)
Nenhuma das demais alternativas
(1,-6)
(2,1)
(-4,-1)
(-1,6)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está rolando nesse exercício. Temos duas funções reais de variável real:
  • $ f(x) = 2 - \arcsin(x^2 + 2x) $, definida no intervalo $ -\frac{\pi}{18} < x < \frac{\pi}{18} $.
  • $ g(x) = f(3x) $.
Queremos encontrar a reta normal ao gráfico da função inversa de $ g $, ou seja, $ g^{-1} $, no ponto $ (2, g^{-1}(2)) $. No final, precisamos descobrir qual dos pontos dados está nessa reta normal.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções inversas, derivadas e retas normais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função inversa $ g^{-1}(x) $. A função inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz. Se $ y = g(x) $, então $ x = g^{-1}(y) $.
Queremos a reta normal a $ g^{-1} $ no ponto $ (2, g^{-1}(2)) $. Para encontrar essa reta, precisamos saber a inclinação da tangente à curva $ g^{-1} $ nesse ponto, porque a reta normal é perpendicular a essa tangente.

Passo 3

Para achar a inclinação da tangente à $ g^{-1} $ em $ x = 2 $, usamos a relação entre as derivadas de funções inversas:
g^-1
Então, precisamos calcular $ g’(x) $ e depois $ g’(g^{-1}(2)) $.

Passo 4

Vamos calcular $ g’(x) $. Como $ g(x) = f(3x) $, usamos a regra da cadeia:
g'(x)
Agora, precisamos encontrar $ f’(x) $. A função $ f(x) = 2 - \arcsin(x^2 + 2x) $, então:
g(x) = f(3x)

Passo 5

Agora, vamos avaliar $ g’(x) $ em $ x = g^{-1}(2) $. Mas primeiro, precisamos encontrar $ g^{-1}(2) $.
Sabemos que $ g(g^{-1}(2)) = 2 $. Ou seja:
g'(x)
Para que isso seja igual a 2, o termo com o arco seno precisa ser zero:
x = g^-1(2)
Sabemos que $ \arcsin(0) = 0 $, então:
g^-1(2)
Resolvendo essa equação quadrática:
g(g^-1(2)) = 2
Então, $ g^{-1}(2) = 0 $ ou $ g^{-1}(2) = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3} $.
Mas lembrando que a função $ f $ está definida em um intervalo pequeno, $ -\frac{\pi}{18} < x < \frac{\pi}{18} $, que aproximadamente é $ -0,1745 < x < 0,1745 $. Então, $ g^{-1}(2) $ deve estar dentro desse intervalo, logo, $ g^{-1}(2) = 0 $.

Passo 6

Agora que sabemos que $ g^{-1}(2) = 0 $, podemos calcular $ g’(0) $:
g^-1(2) = 0
Calculando $ f’(0) $:
g'(0)
Então:
g'(0) = f'(3 cdot 0) cdot 3 = f'(0) cdot 3

Passo 7

Agora, sabemos que:
( g^-1 )'(2) = 1g'(g^-1(2)) = 1g'(0) = 1-6 = -16
Essa é a inclinação da tangente à $ g^{-1} $ no ponto $ (2, 0) $. A inclinação da reta normal será o negativo do inverso dessa inclinação:
g^-1

Passo 8

Com a inclinação da reta normal $ m = 6 $ e passando pelo ponto $ (2, 0) $, podemos usar a fórmula da reta:
m = 6
Substituindo:
(2, 0)
Agora, vamos verificar qual dos pontos dados satisfaz essa equação.

Passo 9

Vamos verificar cada opção substituindo na equação $ y = 6x - 12 $:
  1. $ (1, 3) $: $ 3 = 6(1) - 12 \implies 3 = -6 $ ❌
  2. $ (1, -6) $: $ -6 = 6(1) - 12 \implies -6 = -6 $ ✔️
  3. $ (2, 1) $: $ 1 = 6(2) - 12 \implies 1 = 0 $ ❌
  4. $ (-4, -1) $: $ -1 = 6(-4) - 12 \implies -1 = -36 $ ❌
  5. $ (-1, 6) $: $ 6 = 6(-1) - 12 \implies 6 = -18 $ ❌
  6. Nenhuma das demais alternativas

Resposta

O ponto que está na reta normal $ L $ é $ (1, -6) $.

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