Sejam
e
funções reais de variável real definidas por
e
. Seja
a reta normal ao gráfico da função
no ponto
, onde
representa a função inversa da função
. A reta
contém o ponto:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está rolando nesse exercício. Temos duas funções reais de variável real:
- $ f(x) = 2 - \arcsin(x^2 + 2x) $, definida no intervalo $ -\frac{\pi}{18} < x < \frac{\pi}{18} $.
- $ g(x) = f(3x) $.
Queremos encontrar a reta normal ao gráfico da função inversa de $ g $, ou seja, $ g^{-1} $, no ponto $ (2, g^{-1}(2)) $. No final, precisamos descobrir qual dos pontos dados está nessa reta normal.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções inversas, derivadas e retas normais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função inversa $ g^{-1}(x) $. A função inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz. Se $ y = g(x) $, então $ x = g^{-1}(y) $.
Queremos a reta normal a $ g^{-1} $ no ponto $ (2, g^{-1}(2)) $. Para encontrar essa reta, precisamos saber a inclinação da tangente à curva $ g^{-1} $ nesse ponto, porque a reta normal é perpendicular a essa tangente.
Passo 3
Para achar a inclinação da tangente à $ g^{-1} $ em $ x = 2 $, usamos a relação entre as derivadas de funções inversas:
Então, precisamos calcular $ g’(x) $ e depois $ g’(g^{-1}(2)) $.
Passo 4
Vamos calcular $ g’(x) $. Como $ g(x) = f(3x) $, usamos a regra da cadeia:
Agora, precisamos encontrar $ f’(x) $. A função $ f(x) = 2 - \arcsin(x^2 + 2x) $, então:
Passo 5
Agora, vamos avaliar $ g’(x) $ em $ x = g^{-1}(2) $. Mas primeiro, precisamos encontrar $ g^{-1}(2) $.
Sabemos que $ g(g^{-1}(2)) = 2 $. Ou seja:
Para que isso seja igual a 2, o termo com o arco seno precisa ser zero:
Sabemos que $ \arcsin(0) = 0 $, então:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, $ g^{-1}(2) = 0 $ ou $ g^{-1}(2) = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3} $.
Mas lembrando que a função $ f $ está definida em um intervalo pequeno, $ -\frac{\pi}{18} < x < \frac{\pi}{18} $, que aproximadamente é $ -0,1745 < x < 0,1745 $. Então, $ g^{-1}(2) $ deve estar dentro desse intervalo, logo, $ g^{-1}(2) = 0 $.
Passo 6
Agora que sabemos que $ g^{-1}(2) = 0 $, podemos calcular $ g’(0) $:
Calculando $ f’(0) $:
Então:
Passo 7
Agora, sabemos que:
Essa é a inclinação da tangente à $ g^{-1} $ no ponto $ (2, 0) $. A inclinação da reta normal será o negativo do inverso dessa inclinação:
Passo 8
Com a inclinação da reta normal $ m = 6 $ e passando pelo ponto $ (2, 0) $, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:
Agora, vamos verificar qual dos pontos dados satisfaz essa equação.
Passo 9
Vamos verificar cada opção substituindo na equação $ y = 6x - 12 $:
- $ (1, 3) $: $ 3 = 6(1) - 12 \implies 3 = -6 $ ❌
- $ (1, -6) $: $ -6 = 6(1) - 12 \implies -6 = -6 $ ✔️
- $ (2, 1) $: $ 1 = 6(2) - 12 \implies 1 = 0 $ ❌
- $ (-4, -1) $: $ -1 = 6(-4) - 12 \implies -1 = -36 $ ❌
- $ (-1, 6) $: $ 6 = 6(-1) - 12 \implies 6 = -18 $ ❌
- Nenhuma das demais alternativas
Resposta
O ponto que está na reta normal $ L $ é $ (1, -6) $.