Sabe-se que
é uma família a dois parâmetros de soluções para
no intervalo
. Encontre um membro desta família que satisfaça ás condições iniciais:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
A solução geral dessa equação é dada por:
Nosso objetivo é encontrar os valores das constantes
e
que fazem essa solução atender às condições iniciais:
Para isso, vamos usar os métodos de resolução de equações diferenciais e aplicar as condições dadas para determinar essas constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a condição
. Substituímos
na solução geral:
Sabemos que
, então a equação simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da solução geral para usar a segunda condição. A solução geral é:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Usamos agora a condição
. Substituímos
na derivada:
Já sabemos que
, então substituímos:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A solução específica que satisfaz as condições iniciais é: