Sabe-se que y(x)=C1 x+C2 x ln x é uma família a dois parâmetros de soluções para x^2 y^prime prime-x y^prime+y=0 no intervalo (-infty, infty). Encontre um membro desta família que satisfaça ás condições iniciais:
y(1)=3 e y^prime(3)=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
x^2 y'' - x y' + y = 0
A solução geral dessa equação é dada por:
y(x) = C1 x + C2 x ln x
Nosso objetivo é encontrar os valores das constantes y(1) = 3 e y'(3) = -1 que fazem essa solução atender às condições iniciais:
Para isso, vamos usar os métodos de resolução de equações diferenciais e aplicar as condições dadas para determinar essas constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a condição y(1) = C1 cdot 1 + C2 cdot 1 cdot ln(1) = 3 . Substituímos C1 = 3 na solução geral:
Sabemos que , então a equação simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da solução geral para usar a segunda condição. A solução geral é:
y(x) = C1 x + C2 x ln x
Derivando em relação a y'(x) = C1 + C2 (ln x + 1) :

Passo 4

Usamos agora a condição y'(3) = C1 + C2 (ln 3 + 1) = -1 . Substituímos 3 + C2 (ln 3 + 1) = -1 na derivada:
Já sabemos que , então substituímos:

Passo 5

Agora, resolvemos para C2 (ln 3 + 1) = -1 - 3 :
C2 (ln 3 + 1) = -4
C2 = -4ln 3 + 1

Resposta

A solução específica que satisfaz as condições iniciais é:
y(x) = 3x - 4ln 3 + 1 cdot x ln x

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