Sejam f(x)=\frac{1}{x} e g(x)=x^{2}-4. Determine f \circ g e seu domínio.

Passo 1

O enunciado define duas funções f(x)=\frac{1}{x} e g(x)=x^{2}-4
e pede para encontrarmos a composição f\circ g e seu domínio.
O conteúdo aqui é composição de funções e determinação de domínio, usando a regra de que
o domínio de f\circ g é o conjunto de x que pertencem ao domínio de g e tais que g(x) pertence ao domínio de f.

Passo 2

Para obter f\circ g, substituímos g(x) na definição de f:
(f\circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{x^{2}-4}.

Passo 3

Agora o domínio.
  1. O domínio de g é todo \mathbb{R}.
  2. O domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{0\}.
  3. Logo, para f\circ g precisamos de x tais que g(x)\neq 0:
x^{2}-4 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} \neq 4 \quad\Longrightarrow\quad x \neq 2,\;x \neq -2.

Resposta

O resultado da composição é
(f\circ g)(x)=\frac{1}{x^{2}-4}
e seu domínio é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq 2,\;x\neq -2\}.

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