Determine o domínio e represente graficamente o domínio da função f dada por:
f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+ z^2 ).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio de f(x,y,z)=ln(x²+y²+z²) e desenhar graficamente esse domínio. O conteúdo envolve domínio de funções de várias variáveis e a condição de existência do logaritmo natural.

Passo 2

Para que \ln(u) esteja definido, precisamos ter u>0. Aqui u = x² + y² + z², então a condição é
\$ x^2 + y^2 + z^2 > 0

Passo 3

Sabemos que x² + y² + z² ≥ 0 para todo (x,y,z)∈ℝ³ e só é igual a zero quando x=y=z=0. Portanto, a desigualdade x²+y²+z²>0 vale para todo ponto exceto
\$ (0,0,0)

Passo 4

Assim, o domínio é todo o espaço tridimensional sem o ponto de origem.
Graficamente, isso corresponde a ℝ³ com a origem removida, ou seja, um espaço “perfurado” no centro.

Resposta

O domínio é
\[D={(x,y,z)\in\mathbb R3:;x2+y2+z2>0}=\mathbb R^3\setminus{(0,0,0)}.\
Graficamente, é todo o espaço tridimensional exceto o ponto (0,0,0).

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