Determine o domínio e represente graficamente o domínio da função f dada por:
f(x, y)=arcsen(2-x^2-y^2).

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio da função f(x,y)=arcsen(2−x²−y²) e representar esse domínio graficamente. O conteúdo envolvido é entender que, para arcsen(u), o argumento u precisa estar entre −1 e 1. Vamos usar essa condição para determinar quais pares (x,y) são válidos.

Passo 2

Para que f(x,y) exista, o argumento de arcsen deve satisfazer
-1 <= 2 - x^2 - y^2 <= 1
Agora separamos em duas desigualdades e resolvemos cada uma:
Da parte esquerda temos
2 - x^2 - y^2 >= -1 implies x^2 + y^2 <= 3
Da parte direita temos
2 - x^2 - y^2 <= 1 implies x^2 + y^2 >= 1

Passo 3

Combinando as duas condições, obtemos que o domínio é o conjunto de todos (x,y) tais que
1 <= x^2 + y^2 <= 3

Passo 4

Graficamente, isso corresponde a um anel circular centrado na origem, com raio interno 1 e raio externo √3, incluindo as fronteiras.

Resposta

O domínio é { (x,y) ∈ ℝ² : 1 ≤ x² + y² ≤ 3 }.

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