Determine o domínio da seguinte função:
f(x)=raizx^2-3 x+2x^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função f(x)=√$ (x²−3x+2)/(x²−2x) $. É conteúdo de domínio de funções reais envolvendo radical e fração: temos que garantir que o radicando seja ≥0 e que o denominador seja ≠0.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador do radicando para facilitar a análise:
x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) ²
x² − 2x = x(x − 2) ²

Passo 3

Como o denominador não pode ser zero, impomos x(x−2)≠0, ou seja x≠0 e x≠2.
Para x≠2 podemos cancelar (x−2) no radicando, obtendo
(x−1)(x−2)x(x−2) = x−1x
Logo, precisamos resolver a inequação $ (x−1)/x ≥ 0 $ mantendo x≠0.

Passo 4

Fazendo análise de sinais em torno dos pontos críticos x=0 e x=1:
  • Em x<0: numerador x−1<0 e denominador x<0 ⇒ quociente >0.
  • Em 0<x<1: x−1<0 e x>0 ⇒ quociente <0.
  • Em x>1: x−1>0 e x>0 ⇒ quociente >0.
    Além disso, em x=1 o quociente vale 0, que é permitido.

Passo 5

Da análise, a solução da inequação é x<0 ou x≥1. Retirando os valores proibidos x=0 e x=2, obtemos o conjunto que forma o domínio.

Resposta

O domínio da função é (−infty,0)cup[1,2)cup(2,infty).

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