Calcule f^prime(x, y, z), sendo:
f(x, y, z)=x y z;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada total (gradiente) de uma função de três variáveis. O conteúdo é derivadas parciais e gradiente, e vamos precisar usar a definição de derivada parcial, tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 2

Para encontrar a derivada parcial em relação a x, fixamos y e z como constantes e derivamos f(x,y,z)=x y z em relação a x. Como y e z são constantes, temos: partial fpartial x=y,z.
Para a derivada parcial em relação a y, fixamos x e z como constantes e derivamos f. Assim: partial fpartial y=x,z.
Para a derivada parcial em relação a z, fixamos x e y como constantes e derivamos f. Assim: partial fpartial z=x,y.

Passo 3

Agora juntamos as derivadas parciais para formar o vetor gradiente nabla f(x,y,z), que é a derivada total da função.

Resposta

nabla f(x,y,z)=( y z,;x z,;x y )

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