Calcule
, sendo:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada total (gradiente) de uma função de três variáveis. O conteúdo é derivadas parciais e gradiente, e vamos precisar usar a definição de derivada parcial, tratando as outras variáveis como constantes.
Passo 2
Para encontrar a derivada parcial em relação a x, fixamos y e z como constantes e derivamos f(x,y,z)=x y z em relação a x. Como y e z são constantes, temos:
.
Para a derivada parcial em relação a y, fixamos x e z como constantes e derivamos f. Assim: .
Para a derivada parcial em relação a z, fixamos x e y como constantes e derivamos f. Assim: .
Para a derivada parcial em relação a y, fixamos x e z como constantes e derivamos f. Assim:
Para a derivada parcial em relação a z, fixamos x e y como constantes e derivamos f. Assim:
Passo 3
Agora juntamos as derivadas parciais para formar o vetor gradiente
, que é a derivada total da função.