Determine uma função não constante que satisfaça o seguinte:
e ,

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar uma função que não seja constante, ou seja, que mude de valor, que vai de A para B. Aqui, A é o conjunto dos números racionais ( Q) e B é o conjunto dos números irracionais ( R - Q). Básico, precisamos criar uma regra que pega qualquer número racional e associa a um número irracional de forma que não seja sempre o mesmo número irracional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números racionais e irracionais. Números racionais são aqueles que podem ser escritos como fração de dois inteiros, tipo $ \frac{a}{b} $, onde ab e a são inteiros e b. Já os irracionais não podem ser escritos assim, exemplos são b neq 0, raiz2, etc.

Passo 3

Agora, a função não pode ser constante, então precisamos que ela dê resultados diferentes para diferentes entradas racionais. Uma maneira simples de fazer isso é adicionar algo que depende de x à função. Vamos pensar em algo que, mesmo adicionando essa coisa que depende de x, garante que o resultado seja sempre irracional.

Passo 4

Uma ideia é usar a soma de um número irracional fixo com um racional. Sabemos que a soma de um irracional com um racional é sempre irracional. Por exemplo, se pegarmos raiz2, que é irracional, e adicionarmos qualquer número racional a ele, o resultado continua sendo irracional.

Passo 5

Então, podemos definir nossa função f assim:
f(x) = raiz2 + x
Aqui, x é qualquer número racional de Q, e raiz2 é um número irracional fixo. Como a soma de raiz2 com qualquer racional x será irracional, garantimos que f(x) está em B = R - Q.

Passo 6

Além disso, a função não é constante porque, se mudarmos o valor de x, f(x) também muda. Por exemplo:
  • Se x = 1, então f(1) = raiz2 + 1.
  • Se x = 2, então f(2) = raiz2 + 2.
Esses resultados são diferentes, então a função realmente muda com x.

Resposta

Uma função não constante que satisfaz as condições é:
f(x) = raiz2 + x

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