Determine uma função não constante
que satisfaça o seguinte:
e
,
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que encontrar uma função que não seja constante, ou seja, que mude de valor, que vai de
para
. Aqui,
é o conjunto dos números racionais (
) e
é o conjunto dos números irracionais (
). Básico, precisamos criar uma regra que pega qualquer número racional e associa a um número irracional de forma que não seja sempre o mesmo número irracional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são números racionais e irracionais. Números racionais são aqueles que podem ser escritos como fração de dois inteiros, tipo $ \frac{a}{b} $, onde
e
são inteiros e
. Já os irracionais não podem ser escritos assim, exemplos são
,
, etc.
Passo 3
Agora, a função não pode ser constante, então precisamos que ela dê resultados diferentes para diferentes entradas racionais. Uma maneira simples de fazer isso é adicionar algo que depende de
à função. Vamos pensar em algo que, mesmo adicionando essa coisa que depende de
, garante que o resultado seja sempre irracional.
Passo 4
Uma ideia é usar a soma de um número irracional fixo com um racional. Sabemos que a soma de um irracional com um racional é sempre irracional. Por exemplo, se pegarmos
, que é irracional, e adicionarmos qualquer número racional a ele, o resultado continua sendo irracional.
Passo 5
Então, podemos definir nossa função
assim:
Aqui,
é qualquer número racional de
, e
é um número irracional fixo. Como a soma de
com qualquer racional
será irracional, garantimos que
está em
.
Passo 6
Além disso, a função não é constante porque, se mudarmos o valor de
,
também muda. Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então .
Esses resultados são diferentes, então a função realmente muda com
.
Resposta
Uma função não constante que satisfaz as condições é: