Use o teste da razão para tentar decidir sobre a convergência de:
(a) sumn=1^infty n^nn! (diverge)
(b) sumn=1^infty n^33^n (converge)
© sumn=1^infty (3 n+1)n! (converge)
(d) sumn=1^infty 4^n n^3n! (converge)
(e) sumk=1^infty 4^k+k(k+1)! (converge)

Passo 1

Resumindo, vamos aplicar o teste da razão em cada série. Para isso, sejam an os termos gerais; calculamos
L = limntoinfty |an+1an|
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Série (a): temos
an = n^nn!
Então
an+1an = (n+1)^n+1/(n+1)!n^n/n! = (n+1)^n+1(n+1),n^n = (n+1n)^n to e
Como L=e>1, a série diverge.

Passo 3

Série (b): temos
an = n^33^n
Então
an+1an = (n+1)^3/3^n+1n^3/3^n = (n+1)^3n^3cdot13 = (1+1n)^3cdot13 to 13
Como L=1/3<1, a série converge.

Passo 4

Série ©: temos
an = 3n+1n!
Então
an+1an = 3(n+1)+1(n+1)!cdotn!3n+1 = 3n+43n+1cdot1n+1 to 0
Como L=0<1, a série converge.

Passo 5

Série (d): temos
an = 4^n,n^3n!
Então
an+1an = 4^n+1(n+1)^3/(n+1)!4^n n^3/n! = 4cdot(n+1)^3n^3cdot1n+1 = 4cdot(n+1)^2n^3 to 0
Como L=0<1, a série converge.

Passo 6

Série (e): temos
ak = 4^k + k(k+1)!
Então
ak+1ak = 4^k+1+k+1(k+2)!cdot(k+1)!4^k+k = 4^k+1+k+14^k+kcdot1k+2 to 0
Como L=0<1, a série converge.

Resposta

(a) diverge; (b) converge; © converge; (d) converge; (e) converge.

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