Verifique que a série
sumn >= 1 nn^2+1
é divergente. Dica: compare com a série harmônica.

Passo 1

Estamos analisando a série e queremos mostrar que ela diverge; o conteúdo aqui é o teste de comparação com a série harmônica e vamos usar desigualdades para comparar os termos.

Passo 2

Lembrando do teste de comparação: se temos duas séries com termos positivos (an) e (bn) tais que an>= bn para todo n suficientemente grande e a série sum bn diverge, então sum an também diverge.

Passo 3

Para n>=1 vale n^2>=1, logo
n^2+1<= n^2 + n^2 = 2n^2
Dividindo por n^2+1>0 e usando que n>0, obtemos
nn^2+1 >= n2n^2 = 12n

Passo 4

Como sumn=1^infty 12n = tfrac12sumn=1^infty 1n é uma constante vezes a série harmônica, ela diverge. Pelo teste de comparação, nossa série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty nn^2+1 é divergente.

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