Determine se as integrais impróprias seguintes convergem ou não. Calcule o valor das que convergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
converge e, caso converja, calcular o seu valor. Informações dadas: a função integranda é
, definida para
. O intervalo de integração é
, logo a impropriedade vem do limite superior infinito. Não há singularidade no ponto
porque
é contínua em
.
Passo 2
Lembrando a definição que vamos usar: a integral imprópria sobre um intervalo infinito é definida como limite de integrais próprias. Ou seja,
Se esse limite existir (for finito), dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge. Nossa tarefa é calcular a integral de
a
e depois tomar o limite
.
Passo 3
Para calcular
usamos a técnica de integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que escolhi as funções:
A fórmula de integração por partes é
A fórmula de integração por partes é
onde
e
são partes da integranda escolhidas de forma a facilitar o cálculo. Aqui é natural escolher
(porque sua derivada é simples) e
(porque conseguimos integrar
facilmente). Assim:
Passo 4
Calculamos
integrando
:
pois a derivada de
é
. Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Calculando a última integral:
então
Passo 5
Agora aplicamos isso na integral definida de
a
:
Avaliamo-la nos extremos:
no o valor é
,
no o valor é
.
Portanto
no
no
Portanto
Passo 6
Precisamos tomar o limite quando
:
Mostramos que o termo com
tende a zero. Observe que
para
suficientemente grande (isto é só uma estimativa). O limite
, porque a exponencial cresce (ou, no caso,
no denominador) muito mais rápido que a fator polinomial
. Se quiser uma justificativa rápida com L’Hôpital, note que
e aplicando L’Hôpital (derivando numerador e denominador) dá
Logo o termo com
vai para
.
Passo 7
Portanto o limite da integral definida é
Concluímos que a integral imprópria converge e seu valor é
.