Determine se as integrais impróprias seguintes convergem ou não. Calcule o valor das que convergem.
\int_{0}^{\infty} x e^{-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} x e^{-2x}\,dx
converge e, caso converja, calcular o seu valor. Informações dadas: a função integranda é x e^{-2x}, definida para x\ge 0. O intervalo de integração é [0,\infty), logo a impropriedade vem do limite superior infinito. Não há singularidade no ponto x=0 porque x e^{-2x} é contínua em x=0.

Passo 2

Lembrando a definição que vamos usar: a integral imprópria sobre um intervalo infinito é definida como limite de integrais próprias. Ou seja,
\int_{0}^{\infty} x e^{-2x}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{0}^{b} x e^{-2x}\,dx.
Se esse limite existir (for finito), dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge. Nossa tarefa é calcular a integral de 0 a b e depois tomar o limite b\to\infty.

Passo 3

Para calcular \int x e^{-2x}\,dx usamos a técnica de integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que escolhi as funções:
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são partes da integranda escolhidas de forma a facilitar o cálculo. Aqui é natural escolher u=x (porque sua derivada é simples) e dv=e^{-2x}\,dx (porque conseguimos integrar e^{-2x} facilmente). Assim:
u = x,\quad du = dx,\quad dv = e^{-2x}\,dx.

Passo 4

Calculamos v integrando dv:
v = \int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2x},
pois a derivada de -\tfrac{1}{2}e^{-2x} é e^{-2x}. Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int x e^{-2x}\,dx = u v - \int v\,du = x\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right)\,dx.
Simplificando:
\int x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx.
Calculando a última integral:
\int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2x},
então
\int x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right) + C = -e^{-2x}\left(\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{4}\right) + C.

Passo 5

Agora aplicamos isso na integral definida de 0 a b:
\int_{0}^{b} x e^{-2x}\,dx = \left[-e^{-2x}\left(\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{4}\right)\right]_{0}^{b}.
Avaliamo-la nos extremos:
no x=b o valor é -e^{-2b}\left(\tfrac{b}{2} + \tfrac{1}{4}\right),
no x=0 o valor é -e^{0}\left(0 + \tfrac{1}{4}\right) = -\tfrac{1}{4}.
Portanto
\int_{0}^{b} x e^{-2x}\,dx = -e^{-2b}\left(\tfrac{b}{2} + \tfrac{1}{4}\right) - \left(-\tfrac{1}{4}\right) = -e^{-2b}\left(\tfrac{b}{2} + \tfrac{1}{4}\right) + \tfrac{1}{4}.

Passo 6

Precisamos tomar o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty} -e^{-2b}\left(\tfrac{b}{2} + \tfrac{1}{4}\right) + \tfrac{1}{4}.
Mostramos que o termo com e^{-2b} tende a zero. Observe que
e^{-2b}\left(\tfrac{b}{2} + \tfrac{1}{4}\right) \le e^{-2b}\left(\tfrac{b}{2} + \tfrac{b}{2}\right) = b e^{-2b},
para b suficientemente grande (isto é só uma estimativa). O limite \lim_{b\to\infty} b e^{-2b} = 0, porque a exponencial cresce (ou, no caso, e^{2b} no denominador) muito mais rápido que a fator polinomial b. Se quiser uma justificativa rápida com L’Hôpital, note que
\lim_{b\to\infty} b e^{-2b} = \lim_{b\to\infty} \frac{b}{e^{2b}}
e aplicando L’Hôpital (derivando numerador e denominador) dá
\lim_{b\to\infty} \frac{1}{2e^{2b}} = 0.
Logo o termo com e^{-2b} vai para 0.

Passo 7

Portanto o limite da integral definida é
\lim_{b\to\infty} \int_{0}^{b} x e^{-2x}\,dx = 0 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4}.
Concluímos que a integral imprópria converge e seu valor é \tfrac{1}{4}.

Resposta

\tfrac{1}{4}

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