Seja uma perpetuidade (anuidade perpétua) que garante a você e a seus herdeiros um programa anual de ( 10+\mathrm{t} ) mil dólares a começar daqui a t anos. Assim, você receberá \ 20.000,00 daqui a 10 anos, seus herdeiros receberãoã$110.000,00 daqui a 100 anos, e assim por diante. Supondo uma taxa de juro anual constante de10 %$, mostre que o valor atual desta perpetuidade é
P=\int_{0}^{\infty}(10+t) e^{-t / 10} d t
e calcule esta integral imprópria.

Passo 1

O enunciado dá um pagamento contínuo ao longo do tempo cuja intensidade (valor por ano, em milhares de dólares) no instante t é (10+t) e esse pagamento começa em t=0 e segue para todo t>0. Também é dada uma taxa de juro anual constante de 10\%. As perguntas são: (i) mostrar que o valor presente P pode ser escrito como
P=\int_{0}^{\infty}(10+t)\,e^{-t/10}\,dt,
e (ii) calcular essa integral imprópria e obter o valor numérico do P.

Passo 2

Por que o valor presente é uma integral? Vou explicar passo a passo. Se em cada instante t você recebe uma quantia por ano (isto é, uma taxa de fluxo) igual a c(t) (em milhares de dólares por ano), o valor presente desse pequeno pagamento recebido no instante t é o pagamento multiplicado pelo fator de desconto até o tempo zero. Com capitalização contínua e taxa anual r, o fator de desconto é e^{-r t}. Aqui r=0,1 (ou seja, 10\%), logo o fator de desconto é e^{-0{,}1t}=e^{-t/10}. Assim, o valor presente de um elemento infinitesimal de pagamento c(t)\,dt é c(t)\,e^{-rt}\,dt. Somando (integrando) esses valores para todo t\ge 0 obtemos
P=\int_{0}^{\infty} c(t)\,e^{-rt}\,dt.
No nosso problema c(t)=10+t (em milhares) e r=0{,}1, daí
P=\int_{0}^{\infty}(10+t)\,e^{-t/10}\,dt,
que é a expressão pedida. (Resumo rápido: a integral aparece porque estamos somando um fluxo contínuo descontado com fator e^{-rt}.)

Passo 3

Agora vamos calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}(10+t)\,e^{-t/10}\,dt.
Separe em duas integrais mais simples:
\int_{0}^{\infty}(10+t)\,e^{-t/10}\,dt =10\int_{0}^{\infty}e^{-t/10}\,dt+\int_{0}^{\infty}t\,e^{-t/10}\,dt.

Passo 4

Calcule a primeira integral I_1= \int_{0}^{\infty}e^{-t/10}\,dt. Esta é uma integral exponencial básica. Podemos integrar explicitamente:
\int e^{-t/10}\,dt = -10\,e^{-t/10}+C,
pois derivando -10 e^{-t/10} obtemos e^{-t/10}. Assim,
I_1=\left[-10\,e^{-t/10}\right]_{0}^{\infty}.
Agora avalie os extremos: quando t\to\infty, e^{-t/10}\to 0, e em t=0 temos e^{0}=1. Logo
I_1=0-(-10)=10.
Portanto 10\cdot I_1 = 10\cdot 10 = 100.

Passo 5

Calcule a segunda integral I_2=\int_{0}^{\infty}t\,e^{-t/10}\,dt. Vamos usar integração por partes. Tome
u=t,\qquad dv=e^{-t/10}\,dt.
Então du=dt e, como já vimos,
v=\int e^{-t/10}\,dt = -10\,e^{-t/10}.
Aplicando integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
\int t\,e^{-t/10}\,dt = -10\,t\,e^{-t/10} - \int \big(-10\,e^{-t/10}\big)\,dt.
Isso é
\int t\,e^{-t/10}\,dt = -10\,t\,e^{-t/10} +10\int e^{-t/10}\,dt.
Já sabemos \int e^{-t/10}\,dt = -10\,e^{-t/10}, então
\int t\,e^{-t/10}\,dt = -10\,t\,e^{-t/10} +10\big(-10\,e^{-t/10}\big) =-(10t+100)\,e^{-t/10}+C.

Passo 6

Agora avalie I_2 como integral imprópria nos limites 0 a \infty:
I_2=\left[-(10t+100)\,e^{-t/10}\right]_{0}^{\infty}.
Verificamos o limite quando t\to\infty. A exponencial e^{-t/10} tende a zero muito mais rápido que 10t+100 cresce, logo
\lim_{t\to\infty}(10t+100)\,e^{-t/10}=0.
Em t=0 temos -(10\cdot0+100)e^{0} = -100. Portanto
I_2 = 0 - (-100) = 100.

Passo 7

Some as duas parcelas: 10\int_{0}^{\infty}e^{-t/10}\,dt = 100 (Passo 4) e \int_{0}^{\infty}t\,e^{-t/10}\,dt = 100 (Passo 6). Assim
\int_{0}^{\infty}(10+t)\,e^{-t/10}\,dt = 100+100 = 200.
Lembre que os números na integral estavam em milhares de dólares, então o resultado 200 corresponde a 200 mil dólares, isto é, \$200{,}000.

Resposta

\;P=\int_{0}^{\infty}(10+t)\,e^{-t/10}\,dt=200 (mil dólares)
\$200{,}000

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