Seja uma perpetuidade (anuidade perpétua) que garante a você e a seus herdeiros um programa anual de (
) mil dólares a começar daqui a t anos. Assim, você receberá
20.000,00
$110.000,00
10 %$, mostre que o valor atual desta perpetuidade é
e calcule esta integral imprópria.
Passo 1
O enunciado dá um pagamento contínuo ao longo do tempo cuja intensidade (valor por ano, em milhares de dólares) no instante
é
e esse pagamento começa em
e segue para todo
. Também é dada uma taxa de juro anual constante de
. As perguntas são: (i) mostrar que o valor presente
pode ser escrito como
e (ii) calcular essa integral imprópria e obter o valor numérico do
.
Passo 2
Por que o valor presente é uma integral? Vou explicar passo a passo. Se em cada instante
você recebe uma quantia por ano (isto é, uma taxa de fluxo) igual a
(em milhares de dólares por ano), o valor presente desse pequeno pagamento recebido no instante
é o pagamento multiplicado pelo fator de desconto até o tempo zero. Com capitalização contínua e taxa anual
, o fator de desconto é
. Aqui
(ou seja,
), logo o fator de desconto é
. Assim, o valor presente de um elemento infinitesimal de pagamento
é
. Somando (integrando) esses valores para todo
obtemos
No nosso problema
(em milhares) e
, daí
que é a expressão pedida. (Resumo rápido: a integral aparece porque estamos somando um fluxo contínuo descontado com fator
.)
Passo 3
Agora vamos calcular a integral imprópria
Separe em duas integrais mais simples:
Passo 4
Calcule a primeira integral
. Esta é uma integral exponencial básica. Podemos integrar explicitamente:
pois derivando
obtemos
. Assim,
Agora avalie os extremos: quando
,
, e em
temos
. Logo
Portanto
.
Passo 5
Calcule a segunda integral
. Vamos usar integração por partes. Tome
Então
e, como já vimos,
Aplicando integração por partes
, obtemos
Isso é
Já sabemos
, então
Passo 6
Agora avalie
como integral imprópria nos limites
a
:
Verificamos o limite quando
. A exponencial
tende a zero muito mais rápido que
cresce, logo
Em
temos
. Portanto
Passo 7
Some as duas parcelas:
(Passo 4) e
(Passo 6). Assim
Lembre que os números na integral estavam em milhares de dólares, então o resultado
corresponde a
mil dólares, isto é,
.