Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}-1} e pede: determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é a raiz quadrada \sqrt{x^{2}+1}, cujo conteúdo (o radicando) é x^{2}+1.
  • O denominador é x^{2}-1.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui (explicação didática): o domínio é o conjunto de todos os valores reais de x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido e é bem definida. Para essa expressão temos duas regras importantes que vêm da própria definição das operações:
  1. Para \sqrt{\;\cdot\;} sobre os reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, é necessário ter \,x^{2}+1\ge 0.
  2. Para uma fração, o denominador não pode ser zero. Ou seja, é necessário ter \,x^{2}-1\neq 0.
Vou aplicar essas duas condições uma a uma.

Passo 3

Analisando a condição do radical: verificar \,x^{2}+1\ge 0.
Observação: para todo x\in\mathbb{R} vale \,x^{2}\ge 0. Somando 1 em ambos os lados obtemos \,x^{2}+1\ge 1. Assim \,x^{2}+1 é sempre positivo para qualquer x real.
Conclusão intermediária: a condição do radical não elimina nenhum x — ou seja, não existe restrição vindo do numerador; todos os x\in\mathbb{R} satisfazem \,x^{2}+1\ge 0.

Passo 4

Analisando a condição do denominador: exigir \,x^{2}-1\neq 0.
Primeiro resolvemos a equação \,x^{2}-1=0. Essa é uma diferença de quadrados e fatoriza como
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Portanto \,x^{2}-1=0 exatamente quando x-1=0 ou x+1=0, ou seja, para x=1 e x=-1.
Como o denominador não pode ser zero, precisamos excluir x=1 e x=-1 do domínio.

Passo 5

Combinação das duas condições: a condição do radical não exclui nenhum x e a condição do denominador exclui apenas x=1 e x=-1. Logo o único impedimento para avaliarmos f(x) é x ser igual a 1 ou a -1. Para qualquer outro x real a expressão está bem definida.
Exemplos para fixar a ideia:
  • Para x=0: \,f(0)=\dfrac{\sqrt{0^{2}+1}}{0^{2}-1}=\dfrac{\sqrt{1}}{-1}=-1, portanto x=0 está no domínio.
  • Para x=2: \,f(2)=\dfrac{\sqrt{2^{2}+1}}{2^{2}-1}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}, também bem definido.

Resposta

(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)

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