Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é a raiz quadrada
, cujo conteúdo (o radicando) é . - O denominador é
.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui (explicação didática): o domínio é o conjunto de todos os valores reais de
para os quais a expressão que define
faz sentido e é bem definida. Para essa expressão temos duas regras importantes que vêm da própria definição das operações:
- Para
sobre os reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, é necessário ter . - Para uma fração, o denominador não pode ser zero. Ou seja, é necessário ter
.
Vou aplicar essas duas condições uma a uma.
Passo 3
Analisando a condição do radical: verificar
.
Observação: para todo vale
. Somando 1 em ambos os lados obtemos
. Assim
é sempre positivo para qualquer
real.
Conclusão intermediária: a condição do radical não elimina nenhum — ou seja, não existe restrição vindo do numerador; todos os
satisfazem
.
Observação: para todo
Conclusão intermediária: a condição do radical não elimina nenhum
Passo 4
Analisando a condição do denominador: exigir
.
Primeiro resolvemos a equação . Essa é uma diferença de quadrados e fatoriza como
Primeiro resolvemos a equação
Portanto
exatamente quando
ou
, ou seja, para
e
.
Como o denominador não pode ser zero, precisamos excluir e
do domínio.
Como o denominador não pode ser zero, precisamos excluir
Passo 5
Combinação das duas condições: a condição do radical não exclui nenhum
e a condição do denominador exclui apenas
e
. Logo o único impedimento para avaliarmos
é
ser igual a
ou a
. Para qualquer outro
real a expressão está bem definida.
Exemplos para fixar a ideia:
Exemplos para fixar a ideia:
- Para
: , portanto está no domínio. - Para
: , também bem definido.