Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}\

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}.
Informações dadas:
  • A função é escrita como uma fração cujo numerador é 1 e o denominador é \sqrt{x+2}.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui: o domínio é o conjunto de todos os valores reais de x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido como número real. Ou seja, precisamos exigir que todas as operações na fórmula sejam válidas no conjunto dos números reais.
Regras que valem para essa expressão:
  • A expressão \sqrt{\,\cdot\,} (raiz quadrada) exige que o radicando seja maior ou igual a zero: o número dentro da raiz tem de ser \ge 0.
  • Não é permitido dividir por zero: o denominador da fração não pode ser zero.

Passo 3

Aplicando a primeira regra (radicando não negativo) ao nosso radicando x+2:
x+2 \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade:
x \ge -2.
Isso nos diz que, para a raiz quadrada existir como número real, já precisamos ter x maior ou igual a -2.

Passo 4

Aplicando a segunda regra (denominador diferente de zero): o denominador é \sqrt{x+2}, então devemos ter
\sqrt{x+2} \ne 0.
Uma raiz quadrada é zero exatamente quando o radicando é zero. Portanto \sqrt{x+2}\ne 0 equivale a
x+2 \ne 0 \quad\Rightarrow\quad x \ne -2.

Passo 5

Agora combinamos as duas condições:
  • Da Passo 3 temos x \ge -2.
  • Da Passo 4 temos x \ne -2.
Juntando: x deve ser maior ou igual a -2 e ao mesmo tempo diferente de -2, logo a condição resultante é
x > -2.

Passo 6

Escrevendo o domínio em notação de intervalo: o conjunto de todos os x tais que x>-2 é o intervalo
(-2,\infty).

Passo 7

Verificações rápidas (pra ganhar confiança):
  • Teste com x=0: \displaystyle f(0)=\frac{1}{\sqrt{0+2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} — funciona.
  • Teste com x=-2: \displaystyle f(-2)=\frac{1}{\sqrt{0}}=\frac{1}{0} — indefinido, por isso -2 não pertence ao domínio.
  • Teste com x=-3: raiz de x+2 é \sqrt{-1} — não é real, logo x=-3 não pertence ao domínio.
Dica rápida para provas: quando tiver uma raiz no denominador, primeiro imponha o radicando \ge 0 e depois remova os pontos que tornam a raiz igual a zero (porque dividir por zero dá erro). Assim você chega direto à condição como fizemos.

Resposta

(-2,\infty)

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