Seja f: A \rightarrow[0,1]. Determine o domínio A para as seguintes funções:
f(x)=-x^{2}+2 x+3

Passo 1

O enunciado dá a função f: A \rightarrow [0,1] definida por
f(x) = -x^{2} + 2x + 3.
O que se pede: determinar o conjunto A (domínio de f) tal que, para todo x\in A, o valor f(x) esteja dentro do intervalo [0,1].
Informações relevantes dadas:
  • A expressão da função é \,f(x)=-x^{2}+2x+3\,.
  • A imagem exigida é o intervalo [0,1], ou seja, devemos ter simultaneamente 0 \le f(x) \le 1 para x\in A.

Passo 2

Interpretação prática para começar a resolver: para x pertencer a A é preciso satisfazer o sistema de desigualdades
0 \le -x^{2}+2x+3 \le 1.
Vou resolver esse sistema separando em duas desigualdades (a inferior e a superior), encontrando os conjuntos de soluções de cada uma, e depois tomando a interseção desses conjuntos.

Passo 3

Resolver a desigualdade inferior 0 \le -x^{2}+2x+3.
Primeiro simplifico a expressão completando o quadrado. Observa-se que
-x^{2}+2x+3 = 4 - (x-1)^{2}.
Explicando rapidamente: 4-(x-1)^2 = 4 - (x^2 -2x +1) = -x^2 +2x +3.
Então a desigualdade vira
4 - (x-1)^{2} \ge 0
o que equivale a
(x-1)^{2} \le 4.
Tomando raiz quadrada (lembrando que |x-1|\le 2),
|x-1| \le 2.
Isso determina o intervalo
x \in [-1,\,3].
Interpretação geométrica/intuition: a parábola y=-x^{2}+2x+3 abre para baixo e fica acima ou igual a zero precisamente entre as raízes -1 e 3.

Passo 4

Resolver a desigualdade superior -x^{2}+2x+3 \le 1.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
-x^{2}+2x+2 \le 0.
Multiplico por -1 (isto troca o sinal da desigualdade):
x^{2}-2x-2 \ge 0.
Agora encontro as raízes da equação quadrática x^{2}-2x-2=0 usando a fórmula de Bhaskara:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=4+8=12,
x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt{3}.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola x^{2}-2x-2 está acima de zero fora do intervalo das raízes. Logo
x \in (-\infty,\,1-\sqrt{3}]\\ \cup\\ [1+\sqrt{3},\,\infty).

Passo 5

Tomar a interseção das soluções das duas desigualdades:
  • da primeira tínhamos x\in[-1,3];
  • da segunda tínhamos x\in(-\infty,\,1-\sqrt{3}]\cup[1+\sqrt{3},\,\infty).
A interseção é
[-1,3]\cap\bigl((-\infty,\,1-\sqrt{3}]\cup[1+\sqrt{3},\,\infty)\bigr) = [-1,\,1-\sqrt{3}]\\ \cup\\ [1+\sqrt{3},\,3].
Verificações rápidas (para dar confiança):
  • Em x=-1 tem-se f(-1)=0 (incluído).
  • Em x=3 tem-se f(3)=0 (incluído).
  • Em x=1\pm\sqrt{3} tem-se f(1\pm\sqrt{3})=1 (incluídos).
    Entre 1-\sqrt{3} e 1+\sqrt{3} (por exemplo em x=1) a função assume valores maiores que 1, portanto esses pontos estão fora do domínio A.

Passo 6

Conclusão final: o domínio A pedido é a união dos dois subintervalos encontrados, com todos os extremos incluídos, porque as desigualdades eram não estritas.

Resposta

A = [-1,\,1-\sqrt{3}]\\ \cup\\ [1+\sqrt{3},\,3]

Exercícios relacionados