Seja
. Determine o domínio
para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede: determinar o conjunto
(domínio de
) tal que, para todo
, o valor
esteja dentro do intervalo
.
Informações relevantes dadas:
- A expressão da função é
. - A imagem exigida é o intervalo
, ou seja, devemos ter simultaneamente para .
Passo 2
Interpretação prática para começar a resolver: para
pertencer a
é preciso satisfazer o sistema de desigualdades
Vou resolver esse sistema separando em duas desigualdades (a inferior e a superior), encontrando os conjuntos de soluções de cada uma, e depois tomando a interseção desses conjuntos.
Passo 3
Resolver a desigualdade inferior
.
Primeiro simplifico a expressão completando o quadrado. Observa-se que
Explicando rapidamente:
.
Então a desigualdade vira
o que equivale a
Tomando raiz quadrada (lembrando que
),
Isso determina o intervalo
Interpretação geométrica/intuition: a parábola
abre para baixo e fica acima ou igual a zero precisamente entre as raízes
e
.
Passo 4
Resolver a desigualdade superior
.
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplico por
(isto troca o sinal da desigualdade):
Agora encontro as raízes da equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Como o coeficiente de
é positivo, a parábola
está acima de zero fora do intervalo das raízes. Logo
Passo 5
Tomar a interseção das soluções das duas desigualdades:
- da primeira tínhamos
; - da segunda tínhamos
.
A interseção é
Verificações rápidas (para dar confiança):
- Em
tem-se (incluído). - Em
tem-se (incluído). - Em
tem-se (incluídos).
Entree (por exemplo em ) a função assume valores maiores que , portanto esses pontos estão fora do domínio .
Passo 6
Conclusão final: o domínio
pedido é a união dos dois subintervalos encontrados, com todos os extremos incluídos, porque as desigualdades eram não estritas.