Seja f: A \rightarrow[0,1]. Determine o domínio A para as seguintes funções:
f(x)=\frac{1-x}{5-x}

Passo 1

O enunciado dá a função f: A \to [0,1] definida por
f(x)=\frac{1-x}{5-x}.
Pede-se determinar o domínio A, isto é, o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} para os quais f(x) está bem definida e seu valor pertence a [0,1].
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula de f é \displaystyle f(x)=\frac{1-x}{5-x}.
  • A imagem (contradomínio desejado) é o intervalo [0,1], logo devemos ter 0\le \frac{1-x}{5-x}\le 1.
  • A função não está definida quando o denominador é zero (ou seja, quando 5-x=0).

Passo 2

Exigência básica de existência: o denominador não pode ser zero. Logo devemos excluir
5-x=0\quad\Rightarrow\quad x=5.
Portanto x\neq 5 é uma condição necessária para x\in A.

Passo 3

Como f tem imagem contida em [0,1], precisamos resolver a dupla desigualdade
0\le \frac{1-x}{5-x}\le 1,
sujeita a x\neq5. Vou resolver as duas desigualdades separadamente e depois intersectar as soluções.

Passo 4

Resolvendo \displaystyle \frac{1-x}{5-x}\ge 0.
Passos para uma desigualdade racional do tipo \dfrac{N(x)}{D(x)}\ge0: localizar zeros de N(x) e D(x) e fazer um quadro de sinais. Aqui
  • numerador N(x)=1-x zera em x=1;
  • denominador D(x)=5-x zera em x=5 (já visto que devemos excluir esse ponto).
Os pontos críticos dividem a reta em intervalos: (-\infty,1), (1,5) e (5,\infty).
  • Para x<1: 1-x>0 e 5-x>0, então \dfrac{1-x}{5-x}>0.
  • Para 1<x<5: 1-x<0 e 5-x>0, então \dfrac{1-x}{5-x}<0.
  • Para x>5: 1-x<0 e 5-x<0, então \dfrac{1-x}{5-x}>0.
Incluímos x=1 porque aí o numerador é zero e a fração vale 0, satisfazendo \ge0. Excluímos x=5 porque a fração não existe. Assim a solução da primeira desigualdade é
(-\infty,1]\\ \cup\\ (5,\infty).

Passo 5

Resolvendo \displaystyle \frac{1-x}{5-x}\le 1.
Subtraio 1 de ambos os lados:
\frac{1-x}{5-x}-1\le 0.
Coloco sobre o mesmo denominador:
\frac{1-x-(5-x)}{5-x}\le 0.
Calculo o numerador:
1-x-(5-x)=1-x-5+x=-4.
Logo a desigualdade fica
\frac{-4}{5-x}\le 0.
Multiplicando por -1 (o que inverte o sinal da desigualdade):
\frac{4}{5-x}\ge 0.
Como 4>0, o sinal da fração é o mesmo do sinal de 1/(5-x). Portanto a fração é não negativa exatamente quando o denominador 5-x é positivo, isto é, quando 5-x>0, ou seja quando
x<5.
Observação: x=5 não é permitido pois anula o denominador. Assim a solução da segunda desigualdade é
(-\infty,5).

Passo 6

Agora intersecto as soluções das duas desigualdades e respeito a condição x\neq5.
Solução da primeira: (-\infty,1]\cup(5,\infty).
Solução da segunda: (-\infty,5).
Interseção:
\big((-\infty,1]\cup(5,\infty)\big)\cap(-\infty,5)=(-\infty,1],
porque (5,\infty)\cap(-\infty,5)=\varnothing.
Além disso x=5 já não está em (-\infty,1], então a condição do denominador está satisfeita.

Passo 7

Verificação rápida por pontos:
  • Para x=1: f(1)=\dfrac{1-1}{5-1}=0\in[0,1].
  • Para x=0: f(0)=\dfrac{1}{5}=0,2\in[0,1].
  • Para x=2 (fora de (-\infty,1]): f(2)=\dfrac{-1}{3}=-\tfrac{1}{3}\notin[0,1], então realmente x=2 não deve estar no domínio.
Tudo consistente: a condição 0\le f(x)\le1 e a existência da fração ocorrem exatamente para x\le1.

Resposta

A=(-\infty,1]

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