Seja
. Determine o domínio
para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se determinar o domínio
, isto é, o conjunto de todos os
para os quais
está bem definida e seu valor pertence a
.
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula de
é . - A imagem (contradomínio desejado) é o intervalo
, logo devemos ter . - A função não está definida quando o denominador é zero (ou seja, quando
).
Passo 2
Exigência básica de existência: o denominador não pode ser zero. Logo devemos excluir
Portanto
é uma condição necessária para
.
Passo 3
Como
tem imagem contida em
, precisamos resolver a dupla desigualdade
sujeita a
. Vou resolver as duas desigualdades separadamente e depois intersectar as soluções.
Passo 4
Resolvendo
.
Passos para uma desigualdade racional do tipo
: localizar zeros de
e
e fazer um quadro de sinais. Aqui
- numerador
zera em ; - denominador
zera em (já visto que devemos excluir esse ponto).
Os pontos críticos dividem a reta em intervalos:
,
e
.
- Para
: e , então . - Para
: e , então . - Para
: e , então .
Incluímos
porque aí o numerador é zero e a fração vale
, satisfazendo
. Excluímos
porque a fração não existe. Assim a solução da primeira desigualdade é
Passo 5
Resolvendo
.
Subtraio
de ambos os lados:
Coloco sobre o mesmo denominador:
Calculo o numerador:
Logo a desigualdade fica
Multiplicando por
(o que inverte o sinal da desigualdade):
Como
, o sinal da fração é o mesmo do sinal de
. Portanto a fração é não negativa exatamente quando o denominador
é positivo, isto é, quando
, ou seja quando
Observação:
não é permitido pois anula o denominador. Assim a solução da segunda desigualdade é
Passo 6
Agora intersecto as soluções das duas desigualdades e respeito a condição
.
Solução da primeira:
.
Solução da segunda: .
Solução da segunda:
Interseção:
porque
.
Além disso
já não está em
, então a condição do denominador está satisfeita.
Passo 7
Verificação rápida por pontos:
- Para
: . - Para
: . - Para
(fora de ): , então realmente não deve estar no domínio.
Tudo consistente: a condição
e a existência da fração ocorrem exatamente para
.