Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right).

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr).
Para isso precisamos duas coisas:
  1. O radicando deve ser não-negativo, ou seja \sqrt{x^{2}-1} existe em \mathbb{R}.
  2. O argumento do \ln deve ser estritamente positivo, ou seja
x+\sqrt{x^{2}-1}>0.

Passo 2

Impondo a existência da raiz, temos
x^{2}-1\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\le -1\quad\text{ou}\quad x\ge 1.

Passo 3

Agora analisamos a condição do logaritmo em cada um desses intervalos. Queremos
x+\sqrt{x^{2}-1}>0.

Passo 4

Para x\ge 1, note que \sqrt{x^{2}-1}\ge 0, logo
x+\sqrt{x^{2}-1}\ge x\ge 1>0.
Isso mostra que todo x\ge 1 satisfaz a condição do \ln.

Passo 5

Para x\le -1, escrevemos \sqrt{x^{2}-1}<\sqrt{x^{2}}=|x|=-x.
Então
x+\sqrt{x^{2}-1}<x+(-x)=0,
ou seja, o argumento do \ln fica negativo. Portanto não há nenhum x\le -1 válido.

Passo 6

Concluímos que a única parte que atende ambas as condições é
x\ge 1.

Resposta

O domínio de f é \,[1,\infty).

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