Seja
f(x)=\frac{1}{x^{2}-9}
Encontre:
a) Domínio e simetria.
b) Assíntotas.
c) Intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.
d) Concavidade e ponto de inflexão.
e) Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}-9}
e pede:
a) domínio e simetria;
b) assíntotas;
c) intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais;
d) concavidade e pontos de inflexão;
e) esboço do gráfico.
Vamos usar propriedades de funções racionais, derivadas e estudo de sinais.

Passo 2

Domínio: o denominador x^{2}-9 não pode ser zero, então
x^{2}-9\neq0\;\Longrightarrow\;x\neq\pm3.
Logo o domínio é
(-\infty,-3)\,\cup\,(-3,3)\,\cup\,(3,\infty).
Simetria: calculamos
f(-x)=\frac{1}{(-x)^{2}-9}=\frac{1}{x^{2}-9}=f(x),
logo f é função par (simétrica em relação ao eixo y).

Passo 3

Assíntotas verticais: ocorrem onde o denominador zera, em x=3 e x=-3.
Assíntota horizontal: avaliando
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{2}-9}=0,
logo y=0 é assíntota horizontal. Não há assíntotas oblíquas.

Passo 4

Derivada primeira para monotonicidade:
f'(x)=-2x\,(x^{2}-9)^{-2}.
Zeramos f'(x)=0 em x=0 (excluímos x=\pm3). Estudo de sinais de f':
  • Em (-\infty,-3): x<0 e (x^{2}-9)^{2}>0 tornam f'>0.
  • Em (-3,0): x<0 e denom positivo no quadrado, logo f'>0.
  • Em (0,3): x>0 f'<0.
  • Em (3,\infty): x>0 e denom positivo, então f'<0.
Portanto f cresce em (-\infty,-3) e em (-3,0), decresce em (0,3) e em (3,\infty).
Em x=0, f passa de crescer para decrescer, é um máximo local com
f(0)=\frac{1}{-9}=-\tfrac{1}{9}.

Passo 5

Derivada segunda para concavidade:
f''(x)=6\,(x^{2}+3)\,(x^{2}-9)^{-3}.
O numerador é sempre positivo, então o sinal de f'' vem de (x^{2}-9)^{3}:
  • Para |x|>3, x^{2}-9>0 \implies f''>0 (concavidade para cima).
  • Para |x|<3, x^{2}-9<0 \implies f''<0 (concavidade para baixo).
Não há ponto de inflexão em domínio porque a troca de sinal ocorre em x=\pm3, que não pertencem ao domínio.

Passo 6

Esboço do gráfico (função par com três ramos):
  • Em (-\infty,-3): f>0, cresce de 0^+ (quando x\to-\infty) até +\infty (em x\to -3^-), concava-para-cima.
  • Em (-3,0): f<0, cresce de -\infty (em x\to-3^+) até -\tfrac{1}{9} (em x=0), concava-para-baixo.
  • Em (0,3): f<0, decresce de -\tfrac{1}{9} até -\infty (em x\to3^-), concava-para-baixo.
  • Em (3,\infty): f>0, decresce de +\infty (em x\to3^+) até 0^+ (em x\to\infty), concava-para-cima.
As assíntotas verticais são x=\pm3 e a horizontal é y=0. A curva é simétrica em relação ao eixo y.

Resposta

a) Domínio: (-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty). Função par (simétrica ao eixo y).
b) Assíntotas verticais: x=-3, x=3. Assíntota horizontal: y=0.
c) Cresce em (-\infty,-3) e (-3,0); decresce em (0,3) e (3,\infty). Máximo local em x=0 com f(0)=-\tfrac{1}{9}.
d) Concava-para-cima em (-\infty,-3)\cup(3,\infty); concava-para-baixo em (-3,3). Sem ponto de inflexão em domínio.
e) Gráfico: três ramos hiperbólicos simétricos, aproximando-se das retas x=\pm3 e y=0 conforme descrito.

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