Seja
Encontre:
a) Domínio e simetria.
b) Assíntotas.
c) Intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.
d) Concavidade e ponto de inflexão.
e) Esboce o gráfico.
a) Domínio e simetria.
b) Assíntotas.
c) Intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.
d) Concavidade e ponto de inflexão.
e) Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
a) domínio e simetria;
b) assíntotas;
c) intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais;
d) concavidade e pontos de inflexão;
e) esboço do gráfico.
Vamos usar propriedades de funções racionais, derivadas e estudo de sinais.
a) domínio e simetria;
b) assíntotas;
c) intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais;
d) concavidade e pontos de inflexão;
e) esboço do gráfico.
Vamos usar propriedades de funções racionais, derivadas e estudo de sinais.
Passo 2
Domínio: o denominador
não pode ser zero, então
Logo o domínio é
Simetria: calculamos
logo
é função par (simétrica em relação ao eixo
).
Passo 3
Assíntotas verticais: ocorrem onde o denominador zera, em
e
.
Assíntota horizontal: avaliando
Assíntota horizontal: avaliando
logo
é assíntota horizontal. Não há assíntotas oblíquas.
Passo 4
Derivada primeira para monotonicidade:
Zeramos
em
(excluímos
). Estudo de sinais de
:
- Em
: e tornam . - Em
: e denom positivo no quadrado, logo . - Em
: dá . - Em
: e denom positivo, então .
Portanto
cresce em
e em
, decresce em
e em
.
Em ,
passa de crescer para decrescer, é um máximo local com
Em
Passo 5
Derivada segunda para concavidade:
O numerador é sempre positivo, então o sinal de
vem de
:
- Para
, (concavidade para cima). - Para
, (concavidade para baixo).
Não há ponto de inflexão em domínio porque a troca de sinal ocorre em
, que não pertencem ao domínio.
Passo 6
Esboço do gráfico (função par com três ramos):
- Em
: , cresce de (quando ) até (em ), concava-para-cima. - Em
: , cresce de (em ) até (em ), concava-para-baixo. - Em
: , decresce de até (em ), concava-para-baixo. - Em
: , decresce de (em ) até (em ), concava-para-cima.
As assíntotas verticais são
e a horizontal é
. A curva é simétrica em relação ao eixo
.
Resposta
a) Domínio:
. Função par (simétrica ao eixo
).
b) Assíntotas verticais: ,
. Assíntota horizontal:
.
c) Cresce em e
; decresce em
e
. Máximo local em
com
.
d) Concava-para-cima em ; concava-para-baixo em
. Sem ponto de inflexão em domínio.
e) Gráfico: três ramos hiperbólicos simétricos, aproximando-se das retas e
conforme descrito.
b) Assíntotas verticais:
c) Cresce em
d) Concava-para-cima em
e) Gráfico: três ramos hiperbólicos simétricos, aproximando-se das retas