Considere as seguintes equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para cada item, determine a solução particular que satisfaz as condições iniciais.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 3y = 0
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1. Vamos resolver usando o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à equação homogênea:
r^2 - 4r + 3 = 0.
Resolvendo, obtemos as raízes
r = 1 \quad\text{e}\quad r = 3.
Logo, a solução geral é
y(x) = C\,e^{x} + D\,e^{3x},
onde C e D são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Calculamos a derivada de y:
y'(x) = C\,e^{x} + 3D\,e^{3x}.
Em x=0, as condições iniciais dão o sistema
\begin{cases} y(0)=C + D = 2,\\\ y'(0)=C + 3D = -1. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C + D = 2,\\\ C + 3D = -1, \end{cases}
subtraindo a primeira equação da segunda, vem
2D = -3 \;\Rightarrow\; D = -\tfrac{3}{2},
e assim
C = 2 - D = 2 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{7}{2}.

Resposta

y(x) = \frac{7}{2}\,e^{x} \;-\; \frac{3}{2}\,e^{3x}.

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