Considere as seguintes equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para cada item, determine a solução particular que satisfaz as condições iniciais.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
com condições iniciais
e
. Vamos resolver usando o método do polinômio característico.
Passo 2
Formamos o polinômio característico associado à equação homogênea:
Resolvendo, obtemos as raízes
Logo, a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Em
, as condições iniciais dão o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira equação da segunda, vem
e assim