Questão 5(2,0) : Encontre a solução particular da equação da onda
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
em que o comprimento da corda é L=1, a velocidade da onda é c=1, sob a condição:
u(x, 0)=f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x, & \text { se } 0<x<1 / 2 \\\\ 1-x, & \text { se } 1 / 2<x<1 \end{array} \quad u_{t}(x, 0)=0 .\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação da onda
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}
no segmento 0 \le x \le L com L=1 e c=1, sujeita às condições iniciais
u(x,0) = f(x) \quad\text{e}\quad u_{t}(x,0) = 0,
onde
f(x) = \begin{cases} x, & 0 < x < \tfrac{1}{2}, \\\\ 1 - x, & \tfrac{1}{2} < x < 1, \end{cases}
e presumimos extremidades livres de fontes (homogêneas). Vamos aplicar o método de d’Alembert.

Passo 2

A solução geral da onda (no domínio real) é
u(x,t)=F(x - t)\;+\;G(x + t).
Para impor as iniciais, note que
u(x,0)=F(x)+G(x)=f(x),
e
u_{t}(x,t)=-F'(x-t)+G'(x+t) \;\Longrightarrow\; u_{t}(x,0)=-F'(x)+G'(x)=0 \;\Longrightarrow\; G'(x)=F'(x).
Integramos para obter
G(x)=F(x)+C.

Passo 3

Do primeiro contorno F(x)+G(x)=f(x) temos
F(x)+\bigl(F(x)+C\bigr)=f(x) \;\Longrightarrow\; 2\,F(x)+C=f(x).
Como tipicamente f(0)=0, fixamos C=0 para manter regularidade, e assim
F(x)=G(x)=\frac{f(x)}{2}.

Passo 4

Logo a solução particular para o problema de valor inicial fica
u(x,t) =\;F(x-t)+G(x+t) =\frac{1}{2}\,f(x-t)\;+\;\frac{1}{2}\,f(x+t).

Resposta

u(x,t) =\frac12\Bigl[f(x-t)+f(x+t)\Bigr].

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