Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\log _{3}\left(x^{2}-x-12\right)-\log _{3}\left(x^{2}-10 x+25\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\log_{3}\!\big(x^{2}-x-12\big)-\log_{3}\!\big(x^{2}-10x+25\big)
e pede: determinar o domínio de f.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A função é a diferença de dois logaritmos na base 3.
  • Para que cada logaritmo esteja definido, o argumento de cada um deve ser estritamente positivo.

Passo 2

Regra básica (lembrando devagar): um logaritmo \log_{a}(A) com a>0 e a\neq1 está definido somente quando o argumento satisfaz A>0. Portanto, para f(x) os dois argumentos devem ser positivos simultaneamente. Ou seja precisamos resolver o sistema de desigualdades
x^{2}-x-12>0
x^{2}-10x+25>0

Passo 3

Vamos resolver a primeira desigualdade \;x^{2}-x-12>0\;. Primeiro fatoramos o polinômio:
x^{2}-x-12=(x-4)(x+3).
As raízes são x=-3 e x=4. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola abre para cima, logo a expressão é positiva fora do intervalo entre as raízes. Fazendo a análise por intervalos:
  • Se x<-3, ambos fatores x-4 e x+3 são negativos ou um é negativo? (testa-se com x=-4: (-8)\cdot(-1)=8>0), então a expressão é positiva.
  • Se -3<x<4, toma x=0: (0-4)(0+3)=(-4)\cdot3=-12<0, expressão negativa.
  • Se x>4, toma x=5: (1)\cdot(8)=8>0, expressão positiva.
    Portanto a solução da primeira desigualdade é
x\in (-\infty,-3)\cup(4,\infty).

Passo 4

Agora a segunda desigualdade \;x^{2}-10x+25>0\;. Reconhece-se uma forma notável:
x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}.
Um quadrado perfeito (x-5)^{2} é sempre \ge 0 e vale zero somente em x=5. Como queremos estritamente maior que zero, a condição é
(x-5)^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq 5.
Ou seja, a segunda desigualdade é satisfeita para todos os x reais exceto x=5:
x\in \mathbb{R}\setminus\{5\}.

Passo 5

Precisamos agora da interseção das soluções das duas desigualdades, porque ambos os argumentos do logaritmo devem ser positivos ao mesmo tempo. Intersecando
(-\infty,-3)\cup(4,\infty) \quad\text{com}\quad \mathbb{R}\setminus\{5\},
obtemos: todos os x em (-\infty,-3) continuam válidos, e todos os x em (4,\infty) também seriam válidos exceto x=5, que precisa ser excluído. Então a interseção é
(-\infty,-3)\cup(4,5)\cup(5,\infty).

Passo 6

Checagem rápida com pontos de teste (para ganhar confiança):
  • x=0 fica em (-3,4): aí x^{2}-x-12<0, logo fora do domínio — consistente.
  • x=-4 fica em (-\infty,-3): ( -4)^{2}-(-4)-12=16+4-12=8>0 e ( -4)^{2}-10(-4)+25=16+40+25=81>0, então x=-4 está no domínio — consistente.
  • x=5: a segunda expressão é zero, \log_{3}(0) indefinido, logo x=5 deve ser excluído — consistente.

Resposta

(-\infty,-3)\cup(4,5)\cup(5,\infty)

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