Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o domínio de
.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A função é a diferença de dois logaritmos na base
. - Para que cada logaritmo esteja definido, o argumento de cada um deve ser estritamente positivo.
Passo 2
Regra básica (lembrando devagar): um logaritmo
com
e
está definido somente quando o argumento satisfaz
. Portanto, para
os dois argumentos devem ser positivos simultaneamente. Ou seja precisamos resolver o sistema de desigualdades
Passo 3
Vamos resolver a primeira desigualdade
. Primeiro fatoramos o polinômio:
As raízes são
e
. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima, logo a expressão é positiva fora do intervalo entre as raízes. Fazendo a análise por intervalos:
- Se
, ambos fatores e são negativos ou um é negativo? (testa-se com : ), então a expressão é positiva. - Se
, toma : , expressão negativa. - Se
, toma : , expressão positiva.
Portanto a solução da primeira desigualdade é
Passo 4
Agora a segunda desigualdade
. Reconhece-se uma forma notável:
Um quadrado perfeito
é sempre
e vale zero somente em
. Como queremos estritamente maior que zero, a condição é
Ou seja, a segunda desigualdade é satisfeita para todos os
reais exceto
:
Passo 5
Precisamos agora da interseção das soluções das duas desigualdades, porque ambos os argumentos do logaritmo devem ser positivos ao mesmo tempo. Intersecando
obtemos: todos os
em
continuam válidos, e todos os
em
também seriam válidos exceto
, que precisa ser excluído. Então a interseção é
Passo 6
Checagem rápida com pontos de teste (para ganhar confiança):
-
fica em : aí , logo fora do domínio — consistente. -
fica em : e , então está no domínio — consistente. -
: a segunda expressão é zero, indefinido, logo deve ser excluído — consistente.