Determine o domínio das seguintes funções: f(x)=raiz(3-2 x-x^2)^17x^2-4 x-5 dom(f)=[-3,-1) cup[1,5).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos o domínio da função f(x)=raiz(3-2x-x^2)^17x^2-4x-5. O conteúdo envolvido é domínio de função com raiz quadrada (radicando não-negativo) e denominador não nulo.

Passo 2

Condição 1: o denominador não pode ser zero. Logo resolvemos
x^2-4x-5neq0
Fatorando, temos
x^2-4x-5=(x-5)(x+1)
Portanto
xneq5e xneq-1

Passo 3

Condição 2: o radicando da raiz deve ser maior ou igual a zero, isto é
(3-2x-x^2)^17x^2-4x-5>=0
Como a potência 17 é ímpar, o sinal de (3-2x-x^2)^17 é o mesmo de 3-2x-x^2. Logo basta
3-2x-x^2x^2-4x-5>=0

Passo 4

Definimos as funções numerador e denominador:
N(x)=3-2x-x^2, D(x)=x^2-4x-5
Fatorando cada uma:
N(x)=-(x^2+2x-3)=-(x-1)(x+3),
D(x)=(x-5)(x+1)
Os pontos críticos são as raízes de N(x) e D(x):
x=-3,;-1,;1,;5

Passo 5

Analisando os sinais de N(x) e D(x) nos intervalos definidos por esses pontos e lembrando de incluir valores que tornam o numerador zero (radicando zero) e excluir onde o denominador anula, obtemos que a fração é não-negativa exatamente em
[-3,-1)cup[1,5)

Resposta

[-3,-1) ∪ [1,5)

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