Determine o domínio das seguintes funções: f(x)=raiz[4]4-xx+3+x^2+1.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função f(x)=raiz[4]4-xx+3+x^2+1. O conteúdo principal é análise de domínio: precisamos garantir que o denominador não zere e que o radicando da raiz de índice par seja não negativo.

Passo 2

Primeiro, note que o denominador x+3 não pode ser zero, pois isso deixaria a fração indefinida. Logo, temos a restrição xneq -3.
Em seguida, como temos uma raiz de índice 4 em raiz[4]4-xx+3, o radicando deve satisfazer 4-xx+3>= 0.

Passo 3

Vamos reescrever a desigualdade de um jeito que facilite a solução. Primeiro, coloque tudo sobre o mesmo denominador:
4-xx+3=4(x+3)-xx+3=4x+12-xx+3=3x+12x+3=3cdotx+4x+3
Como o fator 3 é positivo, a desigualdade 4-xx+3>= 0 equivale a
x+4x+3>=0

Passo 4

Agora fazemos o estudo de sinais de x+4x+3. Os pontos críticos são x=-4 (zero do numerador) e x=-3 (zero do denominador). Montando o diagrama de sinais:
  • Para x<-4: numerador e denominador são ambos negativos, então a razão é positiva. Válido.
  • Em x=-4: numerador é zero, a razão vale zero. Isso satisfaz >=0.
  • Para -4: numerador positivo, denominador negativo, razão negativa. Não vale.
  • Para x>-3: numerador e denominador positivos, razão positiva. Válido.

Passo 5

Lembrando que xneq -3, concluímos que a solução da desigualdade é
(-infty,-4]cup(-3,infty)

Passo 6

Como não há outras restrições, esse será o domínio de f.

Resposta

O domínio de f é (-infty,-4]cup(-3,infty).

Exercícios relacionados