Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x\frac{dy}{dx} + 2y = 4x^2, y(1)=2. Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos passar para a forma padrão e usar fator integrante.
x\frac{dy}{dx} + 2y = 4x^2, y(1)=2. Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos passar para a forma padrão e usar fator integrante.
Passo 2
Dividimos toda a equação por x (considerando x≠0 e o ponto inicial x=1) para obter a forma padrão.
Passo 3
Em uma equação linear dy/dx + P(x)y = Q(x), identificamos P(x)=2/x. O fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão pelo fator integrante x^2:
Agora o lado esquerdo é exatamente a derivada de x^2y, ou seja, d/dx(x^2y).
Passo 5
Reescrevendo, temos
Integrando ambos os lados em relação a x resulta em
Passo 6
Isolando y, obtemos
Passo 7
Aplicamos a condição inicial y(1)=2: substituindo x=1 e y=2 dá
Logo, a solução particular é y=x2+x{-2}.