Resolva o problema de valor inicial:
x d yd x+2 y=4 x^2, y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x\frac{dy}{dx} + 2y = 4x^2, y(1)=2. Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos passar para a forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividimos toda a equação por x (considerando x≠0 e o ponto inicial x=1) para obter a forma padrão.
dydx + 2x,y = 4x

Passo 3

Em uma equação linear dy/dx + P(x)y = Q(x), identificamos P(x)=2/x. O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral 2xdx=e^2ln x=x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão pelo fator integrante x^2:
x^2dydx + 2x,y = 4x^3
Agora o lado esquerdo é exatamente a derivada de x^2y, ou seja, d/dx(x^2y).

Passo 5

Reescrevendo, temos
ddx(x^2y)=4x^3
Integrando ambos os lados em relação a x resulta em
x^2y=integral4x^3dx=x^4+C

Passo 6

Isolando y, obtemos
y=x^4+Cx^2=x^2+Cx^-2

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1)=2: substituindo x=1 e y=2 dá
2=1+CRightarrow C=1
Logo, a solução particular é y=x2+x{-2}.

Resposta

y=x^2+x^-2

Exercícios relacionados