Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem de cada função dada:
Passo 1
Temos a função por partes
f(x)=
-raizx^2-1,&x<-1 0,&x=-1 x^2-x+1,&x>-1
. O conteúdo envolve domínio de radiciação e estudo de parábola.
f(x)=
. O conteúdo envolve domínio de radiciação e estudo de parábola.
Passo 2
Determinar domínio de cada parte e unir:
- Para x<−1, exigimos x^2−1≥0, mas já x<−1 satisfaz essa condição, então domínio da parte 1 é (−∞,−1).
- A parte 2 é só x=−1.
- A parte 3 está definida para todo x>−1.
Portanto o domínio total é ℝ.
Passo 3
Analisar imagem da parte 1 f(x)=−√(x^2−1), x<−1:
- Quando x→−∞, √(x^2−1)∼|x|→∞ implica f→−∞.
- Quando x→−1−, √(x^2−1)→0 implica f→0.
Logo a imagem da parte 1 é (−∞,0).
Passo 4
Em x=−1, f(−1)=0, adicionando o ponto 0 à imagem.
Passo 5
Analisar imagem da parte 3 f(x)=x^2−x+1, x>−1:
- É uma parábola com a=1>0, vértice em x=−b/(2a)=1/2.
- f(1/2)=1/4−1/2+1=3/4 é o valor mínimo.
- Como x→∞, f→∞.
Logo a imagem da parte 3 é [3/4,∞).
Passo 6
Unindo as partes, a imagem total é (−∞,0)∪{0}∪[3/4,∞)= (−∞,0]∪[3/4,∞).
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Para x<−1, gráfico de y=−√(x^2−1) descendo de −∞ até 0 quando x→−1−.
- Ponto sólido em (−1,0).
- Para x>−1, parábola y=x^2−x+1, inicia em y→3 quando x→−1+, atinge mínimo 3/4 em x=1/2 e cresce depois.
Resposta
Domínio
=R . Imagem
=(−∞,0]cup[3/4,∞) .