Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem de cada função dada:
f(x)=ccc-raizx^2-1, & se x<-1 0, & se x=-1 x^2-x+1, & se x>-1

Passo 1

Temos a função por partes
f(x)=
-raizx^2-1,&x<-1 0,&x=-1 x^2-x+1,&x>-1
. O conteúdo envolve domínio de radiciação e estudo de parábola.

Passo 2

Determinar domínio de cada parte e unir:
  • Para x<−1, exigimos x^2−1≥0, mas já x<−1 satisfaz essa condição, então domínio da parte 1 é (−∞,−1).
  • A parte 2 é só x=−1.
  • A parte 3 está definida para todo x>−1.
    Portanto o domínio total é ℝ.

Passo 3

Analisar imagem da parte 1 f(x)=−√(x^2−1), x<−1:
  • Quando x→−∞, √(x^2−1)∼|x|→∞ implica f→−∞.
  • Quando x→−1−, √(x^2−1)→0 implica f→0.
    Logo a imagem da parte 1 é (−∞,0).

Passo 4

Em x=−1, f(−1)=0, adicionando o ponto 0 à imagem.

Passo 5

Analisar imagem da parte 3 f(x)=x^2−x+1, x>−1:
  • É uma parábola com a=1>0, vértice em x=−b/(2a)=1/2.
  • f(1/2)=1/4−1/2+1=3/4 é o valor mínimo.
  • Como x→∞, f→∞.
    Logo a imagem da parte 3 é [3/4,∞).

Passo 6

Unindo as partes, a imagem total é (−∞,0)∪{0}∪[3/4,∞)= (−∞,0]∪[3/4,∞).

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Para x<−1, gráfico de y=−√(x^2−1) descendo de −∞ até 0 quando x→−1−.
  • Ponto sólido em (−1,0).
  • Para x>−1, parábola y=x^2−x+1, inicia em y→3 quando x→−1+, atinge mínimo 3/4 em x=1/2 e cresce depois.

Resposta

Domínio =R. Imagem =(−∞,0]cup[3/4,∞).

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