Determine o domínio das seguintes funções: f(x)=raiz2 x-61-5 x

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio da função f(x)=raiz2x-61-5x. Esse é um problema de domínio envolvendo raiz quadrada e fração: pra raiz precisamos do radicando maior ou igual a zero, e pra fração o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Primeiro garantimos que o denominador não zere, ou seja, 1-5xneq0. Resolvendo isso fica
1-5xneq0
5xneq1
xneq15

Passo 3

Agora impomos que o radicando seja não negativo:
2x-61-5x>=0

Passo 4

Para resolver essa desigualdade identificamos as raízes do numerador e denominador:
2x-6=0Rightarrow x=3
1-5x=0Rightarrow x=15

Passo 5

Com esses pontos críticos fazemos um quadro de sinais (sem incluir x=15 pois ali a função não existe):
  • Para x<15: numerador 2x-6<0, denominador 1-5x>0 → quociente negativo.
  • Para 15: numerador <0, denominador <0 → quociente positivo.
  • Em x=3: numerador zero → quociente zero (vale para a raiz).
  • Para x>3: numerador >0, denominador <0 → quociente negativo.

Passo 6

A condição 2x-61-5x>=0 ocorre portanto apenas em 15, excluindo x=15. Unindo isso com xneq15, concluímos que o domínio é
(15,3]

Resposta

(1/5,3]

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