Determine o maior e o menor valor de x y tal que 2 x+y=2, x e y positivos.

Passo 1

Temos o problema de otimização do produto de duas variáveis positivas sujeitas à restrição linear. O conteúdo é otimização de uma função de uma variável, pois podemos eliminar uma das variáveis usando a restrição 2x+y=2 e depois maximizar/minimizar a função resultante.

Passo 2

Da restrição 2x+y=2 isolamos y em função de x. Como x>0 e y>0, temos:
y = 2 - 2x
com domínio 0 < x < 1.

Passo 3

Definimos então a função objetivo como o produto xy:
f(x)=x,y = x,(2-2x)=2x-2x^2

Passo 4

Para encontrar o máximo, usamos a derivada de f(x) e igualamos a zero:
f'(x)=2-4x=0 implies x=tfrac12

Passo 5

Nesse ponto, y=2-2cdottfrac12=1 e
fl(tfrac12r)=2cdottfrac12-2l(tfrac12r)^2=1-tfrac12=tfrac12

Passo 6

Analisando o comportamento nos extremos do domínio, quando xto0^+ ou xto1^-, o produto f(x)=2x-2x^2 tende a zero. Como x e y são estritamente positivos, esse valor zero não é atingido, mas é o ínfimo.
Portanto, o produto atinge seu valor máximo tfrac12 e não possui valor mínimo (infimum 0).

Resposta

Maior valor: xy=tfrac12, obtido em x=tfrac12, y=1. Menor valor: não existe (infimum 0).

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