Determine o maior e o menor valor de
tal que
e
positivos.
Passo 1
Temos o problema de otimização do produto de duas variáveis positivas sujeitas à restrição linear. O conteúdo é otimização de uma função de uma variável, pois podemos eliminar uma das variáveis usando a restrição 2x+y=2 e depois maximizar/minimizar a função resultante.
Passo 2
Da restrição 2x+y=2 isolamos y em função de x. Como x>0 e y>0, temos:
com domínio
Passo 3
Definimos então a função objetivo como o produto xy:
Passo 4
Para encontrar o máximo, usamos a derivada de
e igualamos a zero:
Passo 5
Nesse ponto,
e
Passo 6
Analisando o comportamento nos extremos do domínio, quando
ou
, o produto
tende a zero. Como
e
são estritamente positivos, esse valor zero não é atingido, mas é o ínfimo.
Portanto, o produto atinge seu valor máximo e não possui valor mínimo (infimum 0).
Portanto, o produto atinge seu valor máximo
Resposta
Maior valor:
, obtido em
. Menor valor: não existe (infimum 0).