Calcule partial wpartial x e partial wpartial y
w=u^2+2 u v ; u=x ln y ; v=2 x+y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função composta. O conteúdo é aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis: temos w em função de u e v, que por sua vez dependem de x e y.

Passo 2

Primeiro, identificamos a regra da cadeia: para w=u^2+2uv, as derivadas parciais satisfazem
partial wpartial x=partial wpartial u,partial upartial x+partial wpartial v,partial vpartial x,
partial wpartial y=partial wpartial u,partial upartial y+partial wpartial v,partial vpartial yAqui usamos que wu=2u+2v e wv=2u, vindos de derivar w=u^2+2uv em relação a u e v.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de u e v em relação a x e y:
$$
u=x\ln y\implies u_x=\ln y,\quad u_y=\frac{x}{y},$$
$$
v=2x+y\implies v_x=2,\quad v_y=1.$$

Passo 4

Substituindo na regra da cadeia: para partial w/partial x temos
$$\frac{\partial w}{\partial x}=(2u+2v)(\ln y)+(2u)(2)
=2\ln y,(u+v)+4u.$$E para partial wpartial x=(2u+2v)(ln y)+(2u)(2) =2ln y,(u+v)+4u temos
$$\frac{\partial w}{\partial y}=(2u+2v)\biggl(\frac{x}{y}\biggr)+(2u)(1)
=2\frac{x}{y},(u+v)+2u.$$

Passo 5

Finalmente, substituímos u=xln y e v=2x+y para obter as expressões em x e y:

Resposta

partial wpartial x=2ln yl(xln y+2x+yr)+4xln y,
partial wpartial y=2xyl(xln y+2x+yr)+2xln y.

Exercícios relacionados