Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função composta. O conteúdo é aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis: temos w em função de u e v, que por sua vez dependem de x e y.
Passo 2
Primeiro, identificamos a regra da cadeia: para w=u^2+2uv, as derivadas parciais satisfazem
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de u e v em relação a x e y:
$$
u=x\ln y\implies u_x=\ln y,\quad u_y=\frac{x}{y},$$
$$
v=2x+y\implies v_x=2,\quad v_y=1.$$
Passo 4
Substituindo na regra da cadeia: para
temos
$$\frac{\partial w}{\partial x}=(2u+2v)(\ln y)+(2u)(2)
=2\ln y,(u+v)+4u.$$E para
temos
$$\frac{\partial w}{\partial y}=(2u+2v)\biggl(\frac{x}{y}\biggr)+(2u)(1)
=2\frac{x}{y},(u+v)+2u.$$
Passo 5
Finalmente, substituímos
e
para obter as expressões em x e y: