Determine o domínio das seguintes funções: f(x)=raiz[5]x-31-x+1-x+raiz[4]x^2-1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função
f(x)=√[5]{\frac{x-3}{1-x}+1-x}+√[4]{x^{2}-1}. O conteúdo aqui é domínio de função envolvendo raízes ímpares e pares e fração. Vamos precisar usar a teoria de domínios: para raízes de índice par o radicando deve ser ≥0, para raízes de índice ímpar não há restrição de sinal, e em qualquer fração o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Analisando a fração dentro da raiz quinta, temos o denominador 1−x. Para que a expressão esteja definida, precisamos de 1−x≠0, ou seja x≠1. Como a raiz é de índice 5 (ímpar), não há restrição no radicando além dessa.

Passo 3

Para a raiz quarta √[4]{x^{2}−1}, como o índice é 4 (par), devemos ter o radicando ≥0. Logo,
x^2-1>=0implies x^2>=1implies x<=-1ou x>=1

Passo 4

Agora combinamos as duas condições: x\le-1 ou x\ge1, mas excluindo x=1 devido ao denominador. Assim restam x\le-1 ou x>1.

Resposta

(-\infty,-1]\cup(1,\infty)

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