Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica: xx-1 <= 5 S=(-infty, 1) cup[5 / 4,+infty).

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver a inequação rational xx-1<=5. O conteúdo aqui é resolução de inequações envolvendo frações racionais, e vamos precisar conhecer (1) o domínio da expressão (onde o denominador não pode anular) e (2) fazer um estudo de sinais após trazer tudo para um único quociente.

Passo 2

Primeiro a gente coloca tudo num único lado e fatora o numerador. Começamos subtraindo 5 de ambos os lados:
xx-1-5<=0
Colocando sobre o mesmo denominador x-1:
x-5(x-1)x-1<=0
Calculando o numerador:
x-5x+5=5-4x
Então a inequação vira
5-4xx-1<=0

Passo 3

Agora identificamos os pontos críticos, que são onde o numerador ou o denominador valem zero.
Numerador 5-4x=0 x=5/4.
Denominador x-1=0 x=1, mas x=1 está fora do domínio (não podemos dividir por zero).

Passo 4

Vamos fazer o quadro de sinais em cada intervalo determinado por 1 e 5/4:
  1. Para x<1: numerador 5-4x>0, denominador x-1<0 ⇒ quociente <0.
  2. Para 1: numerador 5-4x>0, denominador x-1>0 ⇒ quociente >0.
  3. Para x>5/4: numerador 5-4x<0, denominador x-1>0 ⇒ quociente <0.

Passo 5

A inequação pede 5-4xx-1<=0, ou seja, regiões onde o quociente é negativo ou zero. Pelos sinais, isso acontece em dois conjuntos:
  • todo x<1 (o quociente é negativo ali),
  • e todo x>5/4 (também negativo), incluindo x=5/4 pois ali o numerador zera e a fração vale 0.

Passo 6

Portanto a solução é final_answer

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