Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica: |10-x^2|>3 x.

Passo 1

A questão pede para resolver a inequação lvert 10 - x^2rvert > 3x. O conteúdo envolvido é inequação com valor absoluto: vamos dividir em dois casos conforme o sinal de 10 - x^2, resolver quadráticas em cada caso, intersectar com o domínio de cada caso e, por fim, somar as soluções.

Passo 2

Primeiro caso: suponha 10 - x^2 >= 0. Isso significa
x^2 <= 10 iff -raiz10 <= x <= raiz10
Nesse intervalo, lvert 10 - x^2rvert = 10 - x^2. A inequação vira
10 - x^2 > 3x
ou
-x^2 - 3x + 10 > 0 iff x^2 + 3x - 10 < 0
A equação associada x^2 + 3x - 10 = 0 tem raízes
x = -3 pm raiz9 + 402 = -5,,2
Logo, x^2 + 3x - 10 < 0 para x in (-5,2). Intersectando com [-raiz10,raiz10], obtemos
x in [-raiz10,raiz10] cap (-5,2) = [-raiz10,2)

Passo 3

Segundo caso: suponha 10 - x^2 < 0, ou seja x^2 > 10, o que dá
x < -raiz10ou x > raiz10
Aqui lvert 10 - x^2rvert = x^2 - 10, e a inequação fica
x^2 - 10 > 3x
ou
x^2 - 3x - 10 > 0
A equação associada x^2 - 3x - 10 = 0 tem raízes
x = 3 pm raiz9 + 402 = -2,,5
Assim, x^2 - 3x - 10 > 0 para x in (-infty,-2)cup(5,infty). Intersectionando com x^2>10
x < -raiz10(porque $-infty,-2)$ cobre isso)
e
x > 5(pois $raiz10approx3,16<5$ e para $raiz10ã

Passo 4

Agora unimos as soluções dos dois casos:
[-raiz10,2) ;cup; (-infty,-raiz10) ;cup; (5,infty)
Como (-infty,-raiz10)cup[-raiz10,2) = (-infty,2), concluímos
x < 2 ou x > 5

Resposta

Notação de conjunto: xinRmid x<2lor x>5
Notação de intervalos: ((-
\infty,2)\cup(5,\infty))
Representação na reta numérica: círculo aberto em 2 com sombreamento para a esquerda até -infty, e círculo aberto em 5 com sombreamento para a direita até +infty.

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