Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica: 5 xx^2+x-6+1x-2 <= 1x+3 S=(-infty,-3) cup[-1,2).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional (\frac{5x}{x^{2}+x-6} + \frac{1}{x-2} \le \frac{1}{x+3}. O conteúdo aqui é inequação envolvendo frações racionais; vamos precisar estudar o domínio, juntar tudo num único quociente e fazer análise de sinais.

Passo 2

Primeiro a gente identifica o domínio: as expressões x^2+x-6, x-2 e x+3 não podem ser zero. Fatorando x^2+x-6 = (x+3)(x-2), vemos que x neq -3 e x neq 2.

Passo 3

Agora vamos passar todos os termos para o lado esquerdo e colocar sob o mesmo denominador
5x(x+3)(x-2) + 1x-2 - 1x+3 <= 0
Reescrevendo cada fração com denominador comum (x+3)(x-2):
5x(x+3)(x-2) + x+3(x+3)(x-2) - x-2(x+3)(x-2) = 5x + (x+3) - (x-2)(x+3)(x-2)

Passo 4

No numerador calculamos:
5x + (x+3) - (x-2) = 5x + x + 3 - x + 2 = 5x + 5 = 5(x+1)
Logo a inequação fica
5(x+1)(x+3)(x-2) <= 0

Passo 5

Como 5>0, basta estudar o sinal de
f(x)=x+1(x+3)(x-2) <= 0
Os pontos críticos são x=-1 (zera o numerador), e x=-3,2 (zeram o denominador, exclusivos).

Passo 6

Fazendo a árvore de sinais ou tabela rápida:
  • Em x+1<0: (x+3)(x-2)>0, f<0 (-3,-1).
  • Em f>0: numerador <0, denominador <0 ⇒ (-1,2).
  • Em f<0: numerador >0, denominador <0 ⇒ (2,infty).
  • Em f>0: numerador >0, denominador >0 ⇒ .

Passo 7

Como queremos f(x)<=0, incluímos onde f<0 e também o zero em x=-1. Nos pontos x=-3 e x=2 a função não existe, então eles ficam excluídos.
Portanto a solução é
(-infty,-3)cup[-1,2)
Na notação de conjunto isso dá xinR: x<-3 ;ou; -1<= x<2.
Na reta numérica a gente marca um arco de -infty até -3 com ponto aberto em -3, e outro arco de -1 (ponto fechado) até 2 (ponto aberto).

Resposta

Conjunto: xinR: x<-3 ;ou; -1<= x<2
Intervalo: ( -infty,-3)cup[-1,2)
Reta numérica: ───○======○───●=○───
-∞ -3 -1 2

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