Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação racional (\frac{5x}{x^{2}+x-6} + \frac{1}{x-2} \le \frac{1}{x+3}. O conteúdo aqui é inequação envolvendo frações racionais; vamos precisar estudar o domínio, juntar tudo num único quociente e fazer análise de sinais.
Passo 2
Primeiro a gente identifica o domínio: as expressões
,
e
não podem ser zero. Fatorando
, vemos que
e
.
Passo 3
Agora vamos passar todos os termos para o lado esquerdo e colocar sob o mesmo denominador
Reescrevendo cada fração com denominador comum
:
Passo 4
No numerador calculamos:
Logo a inequação fica
Passo 5
Como
, basta estudar o sinal de
Os pontos críticos são
(zera o numerador), e
(zeram o denominador, exclusivos).
Passo 6
Fazendo a árvore de sinais ou tabela rápida:
- Em
: , ⇒ . - Em
: numerador <0, denominador <0 ⇒ . - Em
: numerador >0, denominador <0 ⇒ . - Em
: numerador >0, denominador >0 ⇒ .
Passo 7
Como queremos
, incluímos onde
e também o zero em
. Nos pontos
e
a função não existe, então eles ficam excluídos.
Portanto a solução é
Portanto a solução é
Na notação de conjunto isso dá
.
Na reta numérica a gente marca um arco de até
com ponto aberto em
, e outro arco de
(ponto fechado) até
(ponto aberto).
Na reta numérica a gente marca um arco de
Resposta
Conjunto:
Intervalo:
Reta numérica: ───○======○───●=○───
-∞ -3 -1 2
Intervalo:
Reta numérica: ───○======○───●=○───
-∞ -3 -1 2