Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=raiz|3+x|-|4-x|.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=raizlvert 3+xrvert - lvert 4-xrvert
e pede o domínio. Como dentro da raiz precisamos que o radicando seja não negativo, vamos impor
lvert 3+xrvert - lvert 4-xrvert >= 0

Passo 2

Reescrevendo a desigualdade temos
lvert x+3rvert >= lvert 4-xrvert
Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade.

Passo 3

Elevando ao quadrado:
(x+3)^2 >= (4-x)^2
Expandindo e simplificando:
x^2 + 6x + 9 >= 16 - 8x + x^2
6x + 9 >= 16 - 8x

Passo 4

Isolando x:
6x + 8x >= 16 - 9
14x >= 7
x >= tfrac12

Passo 5

Portanto, a condição para o radicando ser não negativo é x>=tfrac12. Não há outras restrições na expressão.

Resposta

O domínio de f é
l[tfrac12, +inftyr)

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