( pontos) Resolver as inequações:
(x^2-1)(x+4) <= 0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x^2-1)(x+4)<= 0
Este é um problema de inequação polinomial de grau 3. Para resolvê-lo, vamos fatorar o polinômio, encontrar suas raízes e usar análise de sinais em cada intervalo determinado por essas raízes.

Passo 2

Fatoramos x^2-1 como diferença de quadrados:
x^2-1 = (x-1)(x+1)
Logo a inequação fica
(x-1)(x+1)(x+4)<= 0
As raízes (pontos críticos) são
x=1, x=-1, x=-4

Passo 3

Vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo determinado por -4, -1 e 1:
Intervalo (-infty,-4):
x-1<0, x+1<0, x+4<0 to três fatores negativos to produto negativo.
Intervalo (-4,-1):
x+4>0, x-1<0, x+1<0 to dois fatores negativos to produto positivo.
Intervalo (-1,1):
x+4>0, x+1>0, x-1<0 to um fator negativo to produto negativo.
Intervalo (1,infty):
todos os fatores positivos to produto positivo.
Além disso, nos pontos críticos x=-4,-1,1 o produto é zero e cumpre a desigualdade “ <= 0”.

Passo 4

Reunindo os intervalos onde o produto é negativo ou zero, obtemos
(-infty,-4];cup;[-1,1]

Resposta

(-infty,-4]cup[-1,1]

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