Determine o domínio das seguintes funções:
n(x)=\frac{x+3}{x-4}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x-8}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o domínio da função
n(x)=\frac{x+3}{x-4}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x-8}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Há um quociente \frac{x+3}{x-4}, o que impõe a condição de que o denominador não pode ser zero.
  • Há duas raízes quadradas \sqrt{x+1} e \sqrt{x-8}, o que impõe condições sobre os radicandos (eles devem ser não negativos).
    A resolução começa a partir dessas três restrições e termina encontrando a interseção (valores de x que satisfazem todas elas).

Passo 2

Condição do quociente \frac{x+3}{x-4}.
Por definição, uma fração com variável no denominador não está definida quando o denominador é zero. Logo temos a condição
x-4\neq 0,
ou seja
x\neq 4.
Explicação rápida: qualquer valor de x diferente de 4 torna o denominador não nulo e o quociente bem definido.

Passo 3

Condição da raiz \sqrt{x+1}.
A raiz quadrada real \sqrt{\cdot} exige que o radicando seja maior ou igual a zero. Para \sqrt{x+1} isso dá
x+1\ge 0,
portanto
x\ge -1.
Explicação didática: se o radicando fosse negativo teríamos uma raiz não real (complexa), e como buscamos domínio real, excluímos esses x.

Passo 4

Condição da raiz \sqrt{x-8}.
Pelo mesmo motivo,
x-8\ge 0,
ou seja
x\ge 8.
Observação: essa é uma condição mais forte que x\ge -1, ou seja, qualquer x que satisfaça x\ge 8 também satisfaz x\ge -1.

Passo 5

Interseção das condições (domínio da soma).
O domínio da soma de funções é a interseção dos domínios de cada parcela — precisamos dos x que satisfazem simultaneamente todas as restrições:
  • x\neq 4,
  • x\ge -1,
  • x\ge 8.
Agora calculamos a interseção. Primeiro intersectando x\ge -1 e x\ge 8 obtemos x\ge 8 (pois x\ge 8 é condição mais restritiva). Em seguida verificamos x\neq 4: o valor x=4 não pertence ao conjunto x\ge 8, então não precisa ser excluído — já está fora naturalmente.
Portanto a interseção final é
x\ge 8,
ou seja o intervalo [8,\infty).

Passo 6

Verificação rápida em pontos extremos para ganhar confiança:
  • Em x=8 temos \sqrt{8-8}=\sqrt{0}=0 e \sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3, e o quociente \frac{8+3}{8-4}=\frac{11}{4} é bem definido; portanto x=8 pertence ao domínio.
  • Valores maiores que 8 mantêm os radicandos não negativos e o denominador diferente de zero (exceto x=4, mas 4<8), então também pertencem ao domínio.

Resposta

[8,\infty)

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