Determine o domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Há um quociente
, o que impõe a condição de que o denominador não pode ser zero. - Há duas raízes quadradas
e , o que impõe condições sobre os radicandos (eles devem ser não negativos).
A resolução começa a partir dessas três restrições e termina encontrando a interseção (valores deque satisfazem todas elas).
Passo 2
Condição do quociente
.
Por definição, uma fração com variável no denominador não está definida quando o denominador é zero. Logo temos a condição
ou seja
Explicação rápida: qualquer valor de
diferente de
torna o denominador não nulo e o quociente bem definido.
Passo 3
Condição da raiz
.
A raiz quadrada real
exige que o radicando seja maior ou igual a zero. Para
isso dá
portanto
Explicação didática: se o radicando fosse negativo teríamos uma raiz não real (complexa), e como buscamos domínio real, excluímos esses
.
Passo 4
Condição da raiz
.
Pelo mesmo motivo,
ou seja
Observação: essa é uma condição mais forte que
, ou seja, qualquer
que satisfaça
também satisfaz
.
Passo 5
Interseção das condições (domínio da soma).
O domínio da soma de funções é a interseção dos domínios de cada parcela — precisamos dos
que satisfazem simultaneamente todas as restrições:
-
, -
, -
.
Agora calculamos a interseção. Primeiro intersectando
e
obtemos
(pois
é condição mais restritiva). Em seguida verificamos
: o valor
não pertence ao conjunto
, então não precisa ser excluído — já está fora naturalmente.
Portanto a interseção final é
ou seja o intervalo
.
Passo 6
Verificação rápida em pontos extremos para ganhar confiança:
- Em
temos e , e o quociente é bem definido; portanto pertence ao domínio. - Valores maiores que
mantêm os radicandos não negativos e o denominador diferente de zero (exceto , mas ), então também pertencem ao domínio.