Determine o domínio das seguintes funções:
l(x)=\frac{x^{3}+1}{x}.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle l(x)=\frac{x^{3}+1}{x} e pede para determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão é uma fração cujo numerador é o polinômio \displaystyle x^{3}+1 e cujo denominador é \displaystyle x.

Passo 2

O que significa “determinar o domínio”? O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de \displaystyle x (normalmente reais aqui) para os quais a expressão da função faz sentido e produz um valor bem definido. Para funções que são expressões algébricas, as principais causas de problemas (ou seja, pontos que devemos excluir do domínio) são:
  • divisões por zero (não é permitido dividir por \displaystyle 0);
  • raízes de índice par de números negativos (p.ex. \displaystyle \sqrt{\cdot} exige argumento \ge 0);
  • logaritmos com argumento não positivo (p.ex. \displaystyle \ln(\cdot) exige argumento >0).
    Aqui só aparece uma divisão, então a única possível restrição vem do denominador.

Passo 3

Analisando a função dada: o numerador \displaystyle x^{3}+1 é um polinômio e está definido para todo \displaystyle x\in\mathbb{R} (polinômios não trazem restrição de domínio). O denominador é \displaystyle x, e devemos garantir que ele não seja zero, porque divisão por zero é indefinida. Portanto qualquer \displaystyle x tal que \displaystyle x=0 deve ser excluído do domínio.
Observação extra (opcional mas útil para a prova): podemos reescrever a função dividindo os termos:
l(x)=\frac{x^{3}}{x}+\frac{1}{x}=x^{2}+\frac{1}{x},
ou fatorando o numerador:
x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1),
então
l(x)=\frac{(x+1)(x^{2}-x+1)}{x}.
Em ambas as formas o problema permanece: aparece \displaystyle \frac{1}{x} ou um \displaystyle x no denominador, então \displaystyle x=0 é proibido. Não há cancelamento de um fator \displaystyle x no numerador (o numerador não tem fator \displaystyle x comum), logo não podemos “consertar” o ponto \displaystyle x=0 — o valor em \displaystyle x=0 continua indefinido.

Passo 4

Concluímos que todos os números reais são permitidos, exceto \displaystyle 0. Escrever o domínio em notação de conjunto e em notação de intervalos é útil para a prova.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{0\}
(-\infty,0)\cup(0,\infty)

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