Determine o domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão é uma fração cujo numerador é o polinômio e cujo denominador é
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão é uma fração cujo numerador é o polinômio
Passo 2
O que significa “determinar o domínio”? O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
(normalmente reais aqui) para os quais a expressão da função faz sentido e produz um valor bem definido. Para funções que são expressões algébricas, as principais causas de problemas (ou seja, pontos que devemos excluir do domínio) são:
- divisões por zero (não é permitido dividir por
); - raízes de índice par de números negativos (p.ex.
exige argumento ); - logaritmos com argumento não positivo (p.ex.
exige argumento ).
Aqui só aparece uma divisão, então a única possível restrição vem do denominador.
Passo 3
Analisando a função dada: o numerador
é um polinômio e está definido para todo
(polinômios não trazem restrição de domínio). O denominador é
, e devemos garantir que ele não seja zero, porque divisão por zero é indefinida. Portanto qualquer
tal que
deve ser excluído do domínio.
Observação extra (opcional mas útil para a prova): podemos reescrever a função dividindo os termos:
ou fatorando o numerador:
então
Em ambas as formas o problema permanece: aparece
ou um
no denominador, então
é proibido. Não há cancelamento de um fator
no numerador (o numerador não tem fator
comum), logo não podemos “consertar” o ponto
— o valor em
continua indefinido.
Passo 4
Concluímos que todos os números reais são permitidos, exceto
. Escrever o domínio em notação de conjunto e em notação de intervalos é útil para a prova.