Defina formalmente: ( 2.5 pontos)
- Mínimo de um conjunto:
Passo 1
O enunciado pede que você dê uma definição formal de “mínimo de um conjunto”.
Informações dadas: apenas a palavra a ser definida — “mínimo de um conjunto”. Não há figura, nem restrição explícita sobre o tipo de conjunto (por exemplo, conjunto de números reais ou conjunto com relação de ordem), portanto devemos fornecer a definição em um contexto adequado e geral: um conjunto equipado com uma relação de ordem.
Informações dadas: apenas a palavra a ser definida — “mínimo de um conjunto”. Não há figura, nem restrição explícita sobre o tipo de conjunto (por exemplo, conjunto de números reais ou conjunto com relação de ordem), portanto devemos fornecer a definição em um contexto adequado e geral: um conjunto equipado com uma relação de ordem.
Passo 2
Antes de dar a definição formal, preciso explicar o contexto onde a palavra faz sentido. Vou apresentar o conceito de conjunto ordenado de forma simples e clara, porque “mínimo” depende dessa ordem.
Definição curta de poset (conjunto ordenado): um par é um conjunto
com uma relação binária
que é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Ou seja, para quaisquer
:
Definição curta de poset (conjunto ordenado): um par
Exemplos comuns:
com a ordem usual
, ou qualquer subconjunto de
com a mesma ordem.
Passo 3
Agora a definição formal. Vou escrevê-la primeiro em palavras e em seguida em fórmula matemática clara.
Definição em palavras: seja um conjunto ordenado e seja
um subconjunto não vazio. Um elemento
é chamado de mínimo de
se
é menor ou igual a todo elemento de
.
Definição em palavras: seja
Passo 4
Aqui está a definição em forma matemática (fórmula), que é a versão “formal” pedida:
Obs.: a condição
aparece explicitamente e a quantificação universal
diz que
é menor ou igual a qualquer elemento de
.
Passo 5
Vou explicar detalhadamente cada parte da fórmula para você poder usar isso na prova sem medo:
-
significa que o candidato a mínimo pertence ao próprio conjunto . Isso diferencia mínimo de “cota inferior” (lower bound), que pode não pertencer a . -
significa "para todo em , vale ". Ou seja, não existe em elemento estritamente menor que . - A combinação das duas condições garante que
é o menor elemento do conjunto .
Passo 6
Exemplos concretos para fixar o conceito (muito útil na prova):
- Exemplo 1:
com a ordem usual. Então é mínimo porque e , . - Exemplo 2:
. Este conjunto não tem mínimo, porque o único candidato menor possível seria , mas ; nenhum satisfaz para todo . - Exemplo 3:
. Aqui é mínimo porque e para todo .
Passo 7
Propriedades importantes que você pode citar rapidamente na prova (com provas curtas):
- Unicidade: se
e são mínimos de então . Prova: como é mínimo, ; como é mínimo, . Pela antissimetria da ordem segue . - Relação com cota inferior (
): qualquer mínimo de é uma cota inferior de . Além disso, se tem mínimo então é igual ao ínfimo de (caso a noção de ínfimo exista no contexto). Prova rápida: mínimo é um elemento de que é também menor ou igual a todos os outros, portanto é a maior das cotas inferiores — ou seja, o ínfimo.
Passo 8
Dicas práticas para a prova (meio amigo, meio coach):
- Ao pedir para mostrar que um elemento é mínimo: mostre duas coisas (i) pertence ao conjunto e (ii) compare-o com um elemento arbitrário
e prove . - Para mostrar que não existe mínimo: tente mostrar que todo candidato a mínimo falha em ser menor ou igual a algum outro elemento, ou que o menor candidato não pertence ao conjunto.
- Lembre-se: mínimo exige pertencer ao conjunto; ínfimo não precisa.
Resposta
Seja
um conjunto ordenado e
não vazio. Um elemento
é chamado de mínimo de
se, e somente se,