Defina formalmente: ( 2.5 pontos)
  • Mínimo de um conjunto:

Passo 1

O enunciado pede que você dê uma definição formal de “mínimo de um conjunto”.
Informações dadas: apenas a palavra a ser definida — “mínimo de um conjunto”. Não há figura, nem restrição explícita sobre o tipo de conjunto (por exemplo, conjunto de números reais ou conjunto com relação de ordem), portanto devemos fornecer a definição em um contexto adequado e geral: um conjunto equipado com uma relação de ordem.

Passo 2

Antes de dar a definição formal, preciso explicar o contexto onde a palavra faz sentido. Vou apresentar o conceito de conjunto ordenado de forma simples e clara, porque “mínimo” depende dessa ordem.
Definição curta de poset (conjunto ordenado): um par (S,\le) é um conjunto S com uma relação binária \le que é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Ou seja, para quaisquer x,y,z\in S:
x\le x\quad(\text{reflexividade}),
\text{se }x\le y\text{ e }y\le x\text{ então }x=y\quad(\text{antissimetria}),ã
\text{se }x\le y\text{ e }y\le z\text{ então }x\le z\quad(\text{transitividade}).ã
Exemplos comuns: \mathbb{R} com a ordem usual \le, ou qualquer subconjunto de \mathbb{R} com a mesma ordem.

Passo 3

Agora a definição formal. Vou escrevê-la primeiro em palavras e em seguida em fórmula matemática clara.
Definição em palavras: seja (S,\le) um conjunto ordenado e seja A\subseteq S um subconjunto não vazio. Um elemento m\in A é chamado de mínimo de A se m é menor ou igual a todo elemento de A.

Passo 4

Aqui está a definição em forma matemática (fórmula), que é a versão “formal” pedida:
\text{Um elemento }m\in A\text{ é mínimo de }A\quad\text{se e somente se}\quad \forall x\in A,\; m\le x.éí
Obs.: a condição m\in A aparece explicitamente e a quantificação universal \forall x\in A diz que m é menor ou igual a qualquer elemento de A.

Passo 5

Vou explicar detalhadamente cada parte da fórmula para você poder usar isso na prova sem medo:
  • m\in A significa que o candidato a mínimo pertence ao próprio conjunto A. Isso diferencia mínimo de “cota inferior” (lower bound), que pode não pertencer a A.
  • \forall x\in A,\; m\le x significa "para todo x em A, vale m\le x". Ou seja, não existe em A elemento estritamente menor que m.
  • A combinação das duas condições garante que m é o menor elemento do conjunto A.

Passo 6

Exemplos concretos para fixar o conceito (muito útil na prova):
  • Exemplo 1: A=\{2,5,7\}\subset\mathbb{R} com a ordem usual. Então 2 é mínimo porque 2\in A e 2\le 5, 2\le 7.
  • Exemplo 2: A=(0,1]\subset\mathbb{R}. Este conjunto não tem mínimo, porque o único candidato menor possível seria 0, mas 0\notin A; nenhum a\in(0,1] satisfaz a\le x para todo x\in(0,1].
  • Exemplo 3: A=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\}. Aqui 0 é mínimo porque 0\in A e 0\le x para todo x\in A.

Passo 7

Propriedades importantes que você pode citar rapidamente na prova (com provas curtas):
  1. Unicidade: se m e m' são mínimos de A então m=m'. Prova: como m é mínimo, m\le m'; como m' é mínimo, m'\le m. Pela antissimetria da ordem segue m=m'.
  2. Relação com cota inferior ( \inf): qualquer mínimo de A é uma cota inferior de A. Além disso, se A tem mínimo m então m é igual ao ínfimo de A (caso a noção de ínfimo exista no contexto). Prova rápida: mínimo é um elemento de A que é também menor ou igual a todos os outros, portanto é a maior das cotas inferiores — ou seja, o ínfimo.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (meio amigo, meio coach):
  • Ao pedir para mostrar que um elemento é mínimo: mostre duas coisas (i) pertence ao conjunto e (ii) compare-o com um elemento arbitrário x\in A e prove m\le x.
  • Para mostrar que não existe mínimo: tente mostrar que todo candidato a mínimo falha em ser menor ou igual a algum outro elemento, ou que o menor candidato não pertence ao conjunto.
  • Lembre-se: mínimo exige pertencer ao conjunto; ínfimo não precisa.

Resposta

Seja (S,\le) um conjunto ordenado e A\subseteq S não vazio. Um elemento m\in A é chamado de mínimo de A se, e somente se,
\forall x\in A,\; m\le x.

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