Defina formalmente: ( 2.5 pontos)
- Mínimo de um conjunto:
 
Passo 1
O enunciado pede que você dê uma definição formal de “mínimo de um conjunto”.
Informações dadas: apenas a palavra a ser definida — “mínimo de um conjunto”. Não há figura, nem restrição explícita sobre o tipo de conjunto (por exemplo, conjunto de números reais ou conjunto com relação de ordem), portanto devemos fornecer a definição em um contexto adequado e geral: um conjunto equipado com uma relação de ordem.
Informações dadas: apenas a palavra a ser definida — “mínimo de um conjunto”. Não há figura, nem restrição explícita sobre o tipo de conjunto (por exemplo, conjunto de números reais ou conjunto com relação de ordem), portanto devemos fornecer a definição em um contexto adequado e geral: um conjunto equipado com uma relação de ordem.
Passo 2
Antes de dar a definição formal, preciso explicar o contexto onde a palavra faz sentido. Vou apresentar o conceito de conjunto ordenado de forma simples e clara, porque “mínimo” depende dessa ordem.
Definição curta de poset (conjunto ordenado): um par  é um conjunto 
  com uma relação binária 
  que é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Ou seja, para quaisquer 
 :
Definição curta de poset (conjunto ordenado): um par
Exemplos comuns: 
  com a ordem usual 
 , ou qualquer subconjunto de 
  com a mesma ordem.
Passo 3
Agora a definição formal. Vou escrevê-la primeiro em palavras e em seguida em fórmula matemática clara.
Definição em palavras: seja  um conjunto ordenado e seja 
  um subconjunto não vazio. Um elemento 
  é chamado de mínimo de 
  se 
  é menor ou igual a todo elemento de 
 .
Definição em palavras: seja
Passo 4
Aqui está a definição em forma matemática (fórmula), que é a versão “formal” pedida:
Obs.: a condição 
  aparece explicitamente e a quantificação universal 
  diz que 
  é menor ou igual a qualquer elemento de 
 .
Passo 5
Vou explicar detalhadamente cada parte da fórmula para você poder usar isso na prova sem medo:
- 
significa que o candidato a mínimo pertence ao próprio conjunto . Isso diferencia mínimo de “cota inferior” (lower bound), que pode não pertencer a .  - 
significa "para todo em , vale ". Ou seja, não existe em elemento estritamente menor que .  - A combinação das duas condições garante que 
é o menor elemento do conjunto .  
Passo 6
Exemplos concretos para fixar o conceito (muito útil na prova):
- Exemplo 1: 
com a ordem usual. Então é mínimo porque e , .  - Exemplo 2: 
. Este conjunto não tem mínimo, porque o único candidato menor possível seria , mas ; nenhum satisfaz para todo .  - Exemplo 3: 
. Aqui é mínimo porque e para todo .  
Passo 7
Propriedades importantes que você pode citar rapidamente na prova (com provas curtas):
- Unicidade: se 
e são mínimos de então . Prova: como é mínimo, ; como é mínimo, . Pela antissimetria da ordem segue .  - Relação com cota inferior (
): qualquer mínimo de é uma cota inferior de . Além disso, se tem mínimo então é igual ao ínfimo de (caso a noção de ínfimo exista no contexto). Prova rápida: mínimo é um elemento de que é também menor ou igual a todos os outros, portanto é a maior das cotas inferiores — ou seja, o ínfimo.  
Passo 8
Dicas práticas para a prova (meio amigo, meio coach):
- Ao pedir para mostrar que um elemento é mínimo: mostre duas coisas (i) pertence ao conjunto e (ii) compare-o com um elemento arbitrário 
e prove .  - Para mostrar que não existe mínimo: tente mostrar que todo candidato a mínimo falha em ser menor ou igual a algum outro elemento, ou que o menor candidato não pertence ao conjunto.
 - Lembre-se: mínimo exige pertencer ao conjunto; ínfimo não precisa.
 
Resposta
Seja 
  um conjunto ordenado e 
  não vazio. Um elemento 
  é chamado de mínimo de 
  se, e somente se,