Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes do enunciado: a função é o logaritmo natural aplicado à expressão . Nada mais foi fornecido.
Informações relevantes do enunciado: a função é o logaritmo natural aplicado à expressão
Passo 2
O que precisamos saber sobre
(um mini-aula):
é o logaritmo na base
, que é a função inversa da exponencial
. A exponencial
só produz números positivos, ou seja, o conjunto imagem de
é
. Como
é a inversa,
só está definida quando
é positivo. Portanto, sempre que aparecer
devemos exigir que
Explicação intuitiva: perguntar
é perguntar “a que potência devo elevar
para obter
?”. Não faz sentido obter
ao elevar
a alguma potência real, logo esses
são proibidos.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso: o “algo” dentro do logaritmo é
. Logo precisamos ter
Isto é uma inequação simples de primeiro grau. Para resolvê-la, somamos
em ambos os lados:
Observação importante: não podemos colocar
, porque se
a expressão dentro do logaritmo fica
e
não existe.
Passo 4
Converter para notação de conjunto e notação de intervalo:
- Em forma de conjunto:
. - Em forma de intervalo:
.
Para checar rapidamente: se
então
, que é bem definido; se
temos
, indefinido; se
temos
, também indefinido. Então a solução
faz sentido.
Passo 5
Dica prática para a prova (curto e útil): sempre que ver
, resolva a inequação
. Para expressões polinomiais ou racionais você resolve a inequação do jeito usual (fatorando, analisando sinais, etc.). Por exemplo,
dá
; e
dá
ou
.