Determine o domínio das seguintes funções:
r(x)=\ln (x-4)

Passo 1

O enunciado dá a função r(x)=\ln(x-4) e pede: determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes do enunciado: a função é o logaritmo natural aplicado à expressão x-4. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

O que precisamos saber sobre \ln (um mini-aula): \ln é o logaritmo na base e, que é a função inversa da exponencial e^t. A exponencial e^t só produz números positivos, ou seja, o conjunto imagem de e^t é (0,\infty). Como \ln é a inversa, \ln(y) só está definida quando y é positivo. Portanto, sempre que aparecer \ln(\text{algo}) devemos exigir que
\text{algo}>0.
Explicação intuitiva: perguntar \ln(y) é perguntar “a que potência devo elevar e para obter y?”. Não faz sentido obter y\le 0 ao elevar e a alguma potência real, logo esses y são proibidos.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: o “algo” dentro do logaritmo é x-4. Logo precisamos ter
x-4>0.
Isto é uma inequação simples de primeiro grau. Para resolvê-la, somamos 4 em ambos os lados:
x-4+4>0+4 \quad\Rightarrow\quad x>4.
Observação importante: não podemos colocar x\ge 4, porque se x=4 a expressão dentro do logaritmo fica 0 e \ln(0) não existe.

Passo 4

Converter para notação de conjunto e notação de intervalo:
  • Em forma de conjunto: \{x\in\mathbb{R}\mid x>4\}.
  • Em forma de intervalo: (4,\infty).
Para checar rapidamente: se x=5 então r(5)=\ln(5-4)=\ln(1)=0, que é bem definido; se x=4 temos \ln(0), indefinido; se x=3 temos \ln(-1), também indefinido. Então a solução x>4 faz sentido.

Passo 5

Dica prática para a prova (curto e útil): sempre que ver \ln(\text{expressão})ã, resolva a inequação \text{expressão}>0ã. Para expressões polinomiais ou racionais você resolve a inequação do jeito usual (fatorando, analisando sinais, etc.). Por exemplo, \ln(2-x) 2-x>0\Rightarrow x<2; e \ln(x^2-1) x^2-1>0\Rightarrow x<-1 ou x>1.

Resposta

(4,\infty)

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