Desenvolva os seguintes produtos:
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver (expandir) o produto
.
Informações dadas: a expressão está elevada ao expoente
. A tarefa é escrever essa potência como um polinômio em
.
Informações dadas: a expressão
Passo 2
Vou apresentar uma fórmula geral que facilita muito esse tipo de expansão: a fórmula do binómio de Newton. Ela diz o seguinte:
Explicando cada coisa dessa fórmula:
-
é um inteiro não negativo (aqui ). -
e são os termos do binómio (aqui e ). -
é o coeficiente binomial, que significa “n escolhe k” e é dado por
-
(fatorial de ) significa , e por convenção .
Essa fórmula gera cada termo do polinómio com seus coeficientes corretos, evitando multiplicações repetidas.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
,
,
. Assim
Vamos calcular os coeficientes
para
:
Passo 4
Agora escrevo cada termo da soma e calculo os potências de
:
Substituindo os coeficientes e calculando:
Fazendo as multiplicações:
Passo 5
Para ter certeza (verificação), faço multiplicação direta em duas etapas. Primeiro calcule
:
Agora multiplico esse resultado por
:
Multiplico termo a termo:
Somando todos:
o mesmo resultado obtido pelo binómio — perfeito!
Passo 6
Dica rápida para a prova: para expoentes pequenos como
e
vale decorar os padrões:
Isso salva tempo. Respira fundo: com prática isso entra na mão rapidinho — você consegue!