Desenvolva os seguintes produtos:
(x+2)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver (expandir) o produto (x+2)^{3}.
Informações dadas: a expressão (x+2)^{3} está elevada ao expoente 3. A tarefa é escrever essa potência como um polinômio em x.

Passo 2

Vou apresentar uma fórmula geral que facilita muito esse tipo de expansão: a fórmula do binómio de Newton. Ela diz o seguinte:
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}
Explicando cada coisa dessa fórmula:
  • n é um inteiro não negativo (aqui n=3).
  • a e b são os termos do binómio (aqui a=x e b=2).
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que significa “n escolhe k” e é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
  • m! (fatorial de m) significa m!=(m)(m-1)(m-2)\cdots 1, e por convenção 0!=1.
    Essa fórmula gera cada termo do polinómio com seus coeficientes corretos, evitando multiplicações repetidas.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: n=3, a=x, b=2. Assim
(x+2)^{3}=\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{\,3-k}2^{\,k}.
Vamos calcular os coeficientes \binom{3}{k} para k=0,1,2,3:
\binom{3}{0}=\frac{3!}{0!3!}=1,\quad \binom{3}{1}=\frac{3!}{1!2!}=\frac{6}{2}=3,
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!1!}=3,\quad \binom{3}{3}=\frac{3!}{3!0!}=1.

Passo 4

Agora escrevo cada termo da soma e calculo os potências de 2:
(x+2)^{3}=\binom{3}{0}x^{3}2^{0}+\binom{3}{1}x^{2}2^{1}+\binom{3}{2}x^{1}2^{2}+\binom{3}{3}x^{0}2^{3}.
Substituindo os coeficientes e calculando:
=1\cdot x^{3}\cdot 1 + 3\cdot x^{2}\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 1\cdot 1\cdot 8.
Fazendo as multiplicações:
= x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8.

Passo 5

Para ter certeza (verificação), faço multiplicação direta em duas etapas. Primeiro calcule (x+2)^{2}:
(x+2)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 2 + 2^{2}=x^{2}+4x+4.
Agora multiplico esse resultado por (x+2):
(x^{2}+4x+4)(x+2).
Multiplico termo a termo:
x^{2}\cdot x = x^{3},\quad x^{2}\cdot 2 = 2x^{2},
4x\cdot x = 4x^{2},\quad 4x\cdot 2 = 8x,
4\cdot x = 4x,\quad 4\cdot 2 = 8.
Somando todos:
x^{3} + (2x^{2}+4x^{2}) + (8x+4x) + 8 = x^{3}+6x^{2}+12x+8,
o mesmo resultado obtido pelo binómio — perfeito!

Passo 6

Dica rápida para a prova: para expoentes pequenos como 2 e 3 vale decorar os padrões:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},\quad (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.
Isso salva tempo. Respira fundo: com prática isso entra na mão rapidinho — você consegue!

Resposta

x^{3}+6x^{2}+12x+8

Exercícios relacionados