Determine o domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
Temos a função f(x)=√(4/(x−2)−x−1)+³√(1−x²)+1/(1−x) e queremos achar seu domínio. O conteúdo envolve domínio de funções com raiz quadrada, raiz cúbica e fração racional — ou seja, precisamos garantir que o radicando da raiz quadrada seja ≥0 e que nenhum denominador seja zero.
Passo 2
Primeiro identificamos as restrições: (i) o denominador x−2 da fração dentro da raiz não pode ser zero, então x≠2; (ii) o denominador 1−x da última fração não pode ser zero, ou seja, x≠1; (iii) o radicando da raiz quadrada deve satisfazer 4/(x−2)−x−1 ≥ 0; (iv) a raiz cúbica ³√(1−x²) não impõe restrição de domínio.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
[
\frac{4}{x-2} - x - 1 \ge 0
]
Colocando em único denominador obtemos
[
\frac{4 - (x-2)(x+1)}{x-2} \ge 0
]
Desenvolvendo o numerador:
[
4 - (x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 6
]
Logo a desigualdade fica
[
\frac{-x^2 + x + 6}{x-2} \ge 0
]
Agora fatoramos o numerador:
[
-x^2 + x + 6 = -(x^2 - x - 6) = -(x-3)(x+2)
]
Então a versão final é
[
\frac{-(x-3)(x+2)}{x-2} \ge 0
]
[
\frac{4}{x-2} - x - 1 \ge 0
]
Colocando em único denominador obtemos
[
\frac{4 - (x-2)(x+1)}{x-2} \ge 0
]
Desenvolvendo o numerador:
[
4 - (x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 6
]
Logo a desigualdade fica
[
\frac{-x^2 + x + 6}{x-2} \ge 0
]
Agora fatoramos o numerador:
[
-x^2 + x + 6 = -(x^2 - x - 6) = -(x-3)(x+2)
]
Então a versão final é
[
\frac{-(x-3)(x+2)}{x-2} \ge 0
]
Passo 4
Analisando sinais dos fatores (x-3), (x+2) e (x-2) nos intervalos determinados pelos pontos críticos −2, 2 e 3, encontramos que a expressão é ≥0 em x∈(−∞,−2] ∪ (2,3]. Nos pontos x=−2 e x=3 o radicando zera, o que é permitido, e x=2 está excluído por gerar divisão por zero. O valor x=1 já está fora da região onde a desigualdade vale.
Passo 5
Concluímos que, levando em conta todas as condições (raízes e denominadores), o domínio de f é (-∞,−2] ∪ (2,3].
Resposta
(−∞,−2] ∪ (2,3]