Resolva as equações usando a transformada de Laplace
l y^prime prime+y=sen t, y(0) =1, y^prime(0)=-1

Passo 1

Estamos resolvendo uma EDO de 2º ordem usando transformada de Laplace:
y'' + y = sin t, y(0)=1, ; y'(0)=-1
O conteúdo aqui é transformada de Laplace de derivadas, tabelas de transformada e método de frações parciais para inverter de volta.

Passo 2

Aplicamos transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
Ly'' = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0),
Ly = Y(s) e
Lsin t = 1s^2+1.
Portanto:
s^2Y(s) - scdot1 -(-1) + Y(s) = 1s^2+1

Passo 3

Reagrupando termos em Y(s):
(s^2 + 1)Y(s) - s + 1 = 1s^2+1
Isolando Y(s) temos:
Y(s) = 1s^2+1 cdot 1s^2+1 + s - 1s^2+1 = s - 1s^2+1 + 1(s^2+1)^2

Passo 4

Agora separamos Y(s) em termos que conhecemos o inverso:
L^-1s/(s^2+1) = cos t
e temos também
L^-11/(s^2+1) = sin t
Nas tabelas de transformada inversa:
L^-11/(s^2+1)^2 = tfrac12(sin t - tcos t),
,
.

Passo 5

Juntando tudo e simplificando:
y(t) = cos t - sin t + tfrac12(sin t - tcos t) = cos t - tfrac12sin t - tfract2cos t
Esse resultado satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t) = cos t - tfrac12sin t - tfract2cos t.

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